变分法

来自中文百科专业版
跳转至: 导航搜索

  变分法汉语拼音:Bianfen Fa;英语:calculus of variations),研究泛函的极值的方法。

概述

  泛函就是函数的函数,给定一个函数集合Y,若对Y中的每一函数y按某一确定的规则J有一确定的实数J [y] 与之对应,就说在集合Y上给定了一个泛函J。若泛函J在Y中的y0处取的值J[y0]是J在Y中所有的y 处所取值J [y]中的最大(小)的一个 ,则说J [ y0]是最大(小)值,y0称为最大(小)值函数。设Y′是Y中在 y0附近的函数组成的子集,若J[ y0 ]是J 在Y′上取的最大(小)值,则称J[y0 ]是极大(小)值,而y0称为极大(小)值函数。极大(小)值统称极值,极大值函数和极小值函数统称极值函数。变分法的核心问题就是求泛函的极值函数和相应的极值。

关键定理

  变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时,在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。

应用

  变分法在理论物理中非常重要:在拉格朗日力学中,以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础,它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有,黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

历史

  变分法可能是从约翰·伯努利(1696)提出最速曲线(brachistochrone curve)问题开始出现的。它立即引起了雅各布·伯努利和Marquis de l'H?pital的注意。但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年,他的《变分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字。欧拉对这个理论的贡献非常大。Legendre(1786)确定了一种方法,但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科,对于这两者的区别Vincenzo Brunacci(1810)、高斯(1829)、泊松(1831)、 Mikhail Ostrogradsky(1834)、 和雅可比(1837)都曾做出过贡献。Sarrus(1842)的由Cauchy(1844)浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch(1849)、 Jellett(1850)、 Otto Hesse(1857)、 Alfred Clebsch(1858)、 和Carll(1885)写了一些其他有价值的论文和研究报告,但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的着名教材是划时代的,并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900发表的第20和23个希尔伯特(Hilbert)促进了更深远的发展,在20世纪David Hilbert、 Emmy Noether、 Leonida Tonelli、 Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要贡献。Marston Morse 将变分法应用在Morse理论中。Lev Pontryagin、 Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法理想控制论发展了新的数学工具。