D.希尔伯特

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希尔伯特,D. 德国数学家

  希尔伯特,D.汉语拼音:Xi'erbote;英语:Hilbert, David;1862-01-23~1943-02-14),德国数学家。生于柯尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒),卒于格丁根。1880年入柯尼斯堡大学,1885年获博士学位,1892年任该校副教授,翌年为教授,1895年赴格丁根大学任教授,直至1930年退休。自1902年起,一直是德国《数学年刊》主编之一。

  希尔伯特是20世纪最伟大的数学家之一,他的数学贡献是巨大的和多方面的。他典型的研究方式是直攻数学中的重大问题,开拓新的研究领域,并从中寻找带普遍性的方法。他的数学工作依年代次序大体上可分为7个方面。

  1. 代数不变式问题(1888~1893)。希尔伯特采用直接的、非算法的方法,证明了不变式系的有限整基的存在定理(即哥尔丹问题)。他的工作孕育了以E.诺特为代表的抽象代数学派。
  2. 代数数域论(1894~1898)。希尔伯特1897年向德国数学会提交的《数论报告》用新的统一的观点,将以往代数数论的知识融为一个整体。他抓住了互反律这个中心,利用范数剩余记号将高斯古典互反律表示成简单优美的形式:从而猜测到高斯互反律的一般形式。这方面工作的顶峰,是他的论文《相对阿贝尔域理论》(1898)。在这一基础上,高木贞治、E.阿廷等人进一步发展为类域论。
  3. 几何基础(1899~1903)。希尔伯特于1899年发表了著名的《几何基础》一书,第一次给出了完备的欧几里得几何公理系统。全体公理按性质分为5组(即关联公理、次序公理、合同公理、平行公理和连续公理),他对它们之间的逻辑关系作了深刻的考察,精确地提出了公理系统的相容性、独立性与完备性要求。为解决独立性问题,他的典型方法是构作一个模型,不满足所论的公理,但却满足所有其他公理。采用这种途径可赋予非欧几何以严密的逻辑解释,同时开拓了建立其他新几何学的可能性。对于相容性问题,他的重大贡献是借助于解析几何而将欧氏几何的相容性归结为初等算术的相容性。上述工作的意义远超出了几何基础的范围,而使他成为现代公理化方法的奠基人。
  4. 狄利克雷原理与变分法(1904)。希尔伯特用对角线方法证明了,因而拯救了狄利克雷原理,解决了它的适用范围问题。而在此之前,该原理因K.外尔斯特拉斯的批评而被数学家们闲置不用。希尔伯特的工作大大丰富了变分法的经典理论。
  5. 积分方程与无穷维空间理论(1904~1912)。希尔伯特发展了I.弗雷德霍姆的积分方程论,确立了这一理论与二次型主轴化代数理论之间的相似性,并综合运用分析、几何和代数方法发展了特征函数与特征值理论。他将函数空间中的函数按正交基坐标化为数列,并提出具有平方收敛和的数列空间的概念,即希尔伯特空间。他还发现并巧妙地处理了算子的“谱”理论。这些工作经后人拓展成为线性泛函分析理论。同一时期,他还证明了数论中的华林问题(1909)。
  6. 物理学(1912~1922)。希尔伯特曾专注于理论物理领域,其目标是用公理化手法整理近代物理学的重要部门。首先是成功地将积分方程论应用于气体分子运动论,随后又处理了初等辐射论、物质结构理论和广义相对论等。特别是他向格丁根学会提交的《关于物理学基础的注记》(1911年11月20日),独立于A.爱因斯坦导出了引力场方程。他在自己的工作中将爱因斯坦关于引力理论的早期工作与G.米的纯粹场论的纲领结合起来而预示了统一场论的思想。
  7. 数学基础(1918年以后)。这方面的研究是希尔伯特早期关于几何基础工作的自然发展,其主要思想被概括为所谓形式主义计划。按照这一计划,整个数学理论被表现为仅由符号、公式和公理组成的相容的形式系统。他提出证明论(或称元数学)作为证明形式系统相容性的途径。元数学坚持推理的有限性。1931年,K.哥德尔证明希尔伯特的上述想法是行不通的,但希尔伯特的形式主义计划仍不失其重要性,它带动了20世纪数学基础研究的发展。

  1900年,希尔伯特在巴黎举行的国际数学家大会上发表演说,提出了20世纪数学面临的23个问题(希尔伯特问题)。对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学发展的进程。

  希尔伯特同时是一位出色的教师,他讲课富有魅力,体现了重视基础与技巧的特点。他还以一位正直的学者而受到普遍尊敬。他曾拒绝在德国政府为发动第一次世界大战辩护的宣言上签名,对希特勒的排犹暴行表示极大愤慨。希尔伯特的学派在纳粹统治时期遭到了严重打击。

  希尔伯特不仅属于德国,而且属于全世界。由于他和F.克莱因的努力,使格丁根大学在20世纪初的30年间成为数学研究与教育的国际中心。希尔伯特生前享有很高的国际声誉,1910年荣获匈牙利科学院的波尔约数学奖,并且是许多国家科学院的荣誉院士。