非线性方程数值解法

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  非线性方程数值解法汉语拼音:Fei xian xing fan cheng shu zhi jie fa;英语:numerical method of nonlinear equation),当f(x)是超越函数或高次多项式时,f(x)=0称为非线性方程,此类方程除少数情形外,只能求近似解。求解非线性方程的主要方法是迭代法。使用这一方法一般至少要知道根的一个近似值x0,然后将原方程f(x)=0改变成与它同解但便于迭代的形式x=j(x),利用迭代公式xk+1=j(xk),k=0,1,2,……就能求出一系列逐步精确的近似值。例如常用的迭代法有:①牛顿迭代公式:(见图1)k=0,1,2,……式中x0为初始近似值。②割线迭代公式:(见图2)k=0,1,2,……式中x0,x1为两个初始近似值。

  此外还有二次插值法、切比雪夫迭代法艾特肯加速法等。评价一个迭代公式的优劣,除去收敛条件之外,主要是看它的效能指标,即达到规定的精确度所花费的代价。因此如何构造收敛的迭代公式,分析公式的收敛速度和收敛条件,以及加快收敛的技术,这些都是迭代法研究的课题。牛顿迭代具有较高的收敛速度和简单灵活等优点,而且可以推广到求解非线性方程组,拟牛顿法就是具有较高效能指标的求解非线性方程组的通行方法。