证明论

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  证明论汉语拼音:Zhengming Lun;英语:Proof theory),研究数学证明的数学理论。数理逻辑的分支学科。数学中的证明一向是逻辑学家研究的对象,但证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的,目的是要证明公理系统的无矛盾性,希尔伯特提出一整套严格的方案,规定只能用有限长的证明,要无可辩驳地给出整个数学的无矛盾性。他打算先给出公理化的算术系统的无矛盾性,再证明数学分析,集合论的无矛盾性。但1931年,K.哥德尔证明:一个包含公理化的算术的系统中不能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定理。这个结果使希尔伯特方案成为不可能。但1936年,G.根岑降低了希尔伯特的要求,允许使用无穷长的证明,证明了算术公理系统的无矛盾性。到1960年,数学分析的一些片断的无矛盾性也被证明。20世纪60年代以后,证明论不再局限于无矛盾性的证明。数学证明中的结构,证明的复杂性,数学中不可判定问题都成为证明论的研究课题,1977年,J.帕里斯发现算术理论中的一个自然的而又是不可判定的命题,这是一个重大发现。它使算术中自然的不可判定命题的研究越来越受人注意。