自然数

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  自然数汉语拼音:Ziranshu;英语:Natural Number),人类由比较进而计量事物多少的需要形成的最早的数学概念。现代通用阿拉伯数字(又称印度–阿拉伯数字),记作0,1,2,3…阿拉伯数字始创于中印边界地区(但是没有0),后来传到阿拉伯地区,而得此名。自然数概念初步形成当在史前时期,详情已难于追索。所有具有文字的民族很早都已掌握自然数并建立了计数系统,这表示自然数是人类文明发轫标志之一。某些民族语言中有表示诸如“3个人”、“3只船”的词而无表示抽象的“3”的词,这表明形成自然数概念经历时间应当很长。受惠于先人、从小习惯于计数的今人,实已难于体味其形成过程之漫长,产生意义之重大。

  自然数中加法(+)和乘法(×或·)两种运算,满足(k,m,n均表示自然数):①结合律:(k+m)+n=k+(m+n), (k·m)·n=k·(m·n);②交换律:m+n=n+m,m·n=n·m;③分配律:k·(m+n)=k·m+k·n。自然数之间有序关系≤,满足①自反性:n≤n;②对称性:若m≤n,n≤m则m=n;③传递性:若k≤m,m≤n,则k≤n;④加法和乘法的保序性:若m≤n,则k+m≤k+n,k·m≤k·n。

  自然数的本质属性由数学归纳公理(数学归纳法)所刻画。它的另一重要性质是最小自然数原理:每个由自然数组成的集合中必有最小元素。

  现代一般通过皮亚诺公理建立自然数概念,自然数也可以基于有限集的基数来定义。J.冯·诺伊曼于1923年给出自然数的集论定义。粗浅地说,以?表示空集,定义?为0,{0}={?}为1,1∪{1}={?,{?}}为2,…,一般地说,n∪{n}为n+1。在此定义下,0是自然数。这就是现在把0归入自然数的一种看法。