有理数

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  有理数汉语拼音:Youlishu;英语:Rational Number),可表示为分数的数。关于有理数的严格定义,见。有理数可进行四则运算。有理数集关于加法与乘法构成一个域。有理数之间还有序关系≤,满足通常的有关性质。

  正分数出现很早。埃及赖因德古本(约前1650)中就有很多涉及分数的题。现存的巴比伦泥板文书(前2000年前后和前600~前300)中也有楔形符号表示的分数。中国至迟在春秋时期(前770~前476)已有关于分数的记载,到战国时期(前475~前221)分数运算已很普遍。

  “有理数”以及与之相对的“无理数”这两个词起源于希腊毕达哥拉斯学派称能表示为自然数之比的两个量为可公度的,否则称为不可公度的。古希腊人用ρητοζ (ratos,可比)或λογοζ(logos,可表达)表前者,用αρρητοζ(arratos,不可比),αλογοζ(alogos,不可表达)表后者。ratos转为拉丁文ratio,除“比”外还有“理由”之意。6世纪罗马人卡西奥多拉斯首先在现代意义下使用“有理数”、“无理数”这两个词。阿拉伯数学家花拉子米把alogos意译为阿文“听不见”,后转译为拉丁文surdus,英文为surd(不尽根,无道理)。

  有理数的非整数部分也可以用十进制小数表示,如1/2=0.500,0,2/3=0.666,6…,2/7=0.285,714,285,714…与有理数对应的小数都是有限小数或无限循环小数。有理数集合是可数的,也是稠密的(即任意两个有理数之间总存在着有理数)。可以证明有理数与自然数之间可以建立一个一一对应,因此有理数集是可数集,全体有理数组成的集合的基数等于自然数的基数。