整函数

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  整函数汉语拼音:Zheng Hanshu;英语:Integral function),在整个复平面上处处解析的函数。整函数总可以在原点展开成泰勒级数:,它在全平面收敛,整函数以∞点为唯一的孤立奇点,它在∞点的罗朗展式与它在原点的泰勒展式有一样的形式。当∞点是整函数的可去奇点时,这个整函数只能是常数,这就是著名的刘维尔定理,通常表述为“有界整函数必为常数”。利用这一定理可以得到代数基本定理的简单证明。当∞点是整函数的n阶极点时,这个整函数是一个n次多项式 ,也就是它的泰勒展式(或罗朗展式)只有有限多项。当∞点是整函数的本性奇点时,这个整函数的泰勒展式一定有无限多项,这类整函数称为超越整函数。由代数基本定理知道n次多项式一定有n个零点(也就是根),它总可以分解为n个一次因式的积,对于超越整函数,它可能有无限多个零点 ,比如sinπz就以全体整数为其零点集,也有的超越整函数没有零点,如ez就处处不为零,一般来说,没有零点的超越整函数总可以表成eg(z)的形式,此处g(z)也是一个整函数,而有无限多个零点的超越整函数f(z)也有一个因子分解式 ;形如 ,其中g(z)是整函数,0是m阶零点,zk是非零零点集,gk()是的多项式,这是魏尔斯托拉斯因子分解定理。超越整函数还有一个重要性质:若f(z)是超越整函数,则对任意复数A(包括A=∞),存在点列{zk },使zk ∞(k∞)而有f(zk)A。这一结果有一个更精确的发展:对超越整函数f(z),最多除去一个值(称为例外值)外,对所有其他的复数v值(v≠∞),f(z)-v都有无穷多个零点(毕卡定理)。