数(数学)

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  汉语拼音:Shu;英语:Number),人类认识、分析和描述世界的基本手段之一。与“形”同为数学研究的对象。最早出现的是由计量事物多少的需要形成的自然数,其产生当在史前时期,可能历经几万年之久,详情已难于追索。数的抽象是数学的开端,由此就能离开实在对象处理数量关系,进行各种运算。人类的实践活动和数学发展的内在需要,是推动数概念发展的基本因素。

数的原始记法

  形成若干单个数的观念后,必然会寻求表示和记录数的方法。中国周易·系辞下》中说:“上古结绳而治,后世圣人易之以书契。”书契就是在木片或竹片上刻画符号。这表明早期非文字记数有两种基本方法,即结绳和刻痕。中国甲骨文中“数”这个字的象形即来自结绳。结绳记法曾普及世界各地,中国至迟在新石器时代早期已普遍使用,印加帝国到16世纪时还在广泛使用。绳易损毁,现在已不可能找到上古记数的绳。刻痕的实物比较广泛,可以是石头、木片、骨片、竹片等。带有记数刻痕的骨片和石块在考古发掘中已有发现。

数的表示

  结绳和刻痕都按数目进行,数较大时自然有困难,从而导致寻求较好的数的表示方法。数的表示的形成过程漫长而复杂,能确定描述的只是以文字或符号表示的最后阶段。

  数的表示的基本原则是进位,即用一些符号表示某些特定的数(称为基数),别的数则通过某种算法由基数得到。基数选择各有不同。古代巴比伦人较多用60进制,有时也用十进制。埃及赖因德古本(约前1650)用的是十进分级符号制。中国在原始社会后期已建立十进制,到商代(前16~前11世纪)已有比较完整的十进制系统,并有固定的大数名称十、百、千、万,最大数目到三万。12世纪盛行于欧洲,至今某些场合还在使用的罗马数字是五进制的。

  记数用位值制最方便简捷。这种表示法中每个数字的值依赖于它在表示中所处的位置,为此必须有零的记号。中国古代采用算筹,至迟到秦汉时期(前200年前后),筹算方法已经形成。置筹时纵横相间,遇有零数则空位不置筹。到13世纪,中国已用圆圈表示空位。印度人最早也用空位表示零,至迟到876年,出现在十进制中以小圈表示零,并把零看作一个数。不迟于5世纪产生的印度数字,经阿拉伯人从10世纪起传入欧洲,即现今通用的印度–阿拉伯数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

数的扩充

  对某个量进行均等划分以及测量的需要产生作为自然数之比的分数。分数概念形成很早,它是最先出现的数的扩充。负数概念出现较晚,而且相当困难。中国最早出现负数的《九章算术》(至迟1世纪)里已有正负数不同表示法、正负数加减法则以及正负数乘法运算。印度人用负数表示欠债,婆罗摩笈多于628年前后使用负数并提出负数四则运算。可是欧洲大多数数学家直到十六七世纪仍不承认负数是数,后来出现了把正数负数作为相反方向线段的几何解释,情况才开始改变。有了负数,加上分数,自然数集就扩充为整数集、有理数集。数学的发展(如求解三次、四次方程)要求进一步把有理数扩充到实数复数,其间困难和曲折更多。在扩充给定数系时,原来的运算规律应当保持,但可增添新的运算和性质。从自然数系到整数系,从整数系到有理数系,从有理数系到实数系,情形都是如此。也不排除扩张时损失某些基本性质。实数系扩张到复数系,就不再有满足通常规律的序关系。再要扩张复数系,必须损失某些基本性质,如损失乘法交换律,扩张为四元数系。

数的理论

  现代数学通过公理严格定义数。由皮亚诺公理可建立自然数系。然后考虑自然数序偶。如果满足(a1,b1),(a2,b2)满足a1+b2=a2+b1,则称这两序偶等价。等价的序偶归为一类,称为等价类。一切这样的等价类构成的集定义为整数集。(a,a)所在的类相当于零,a>b时(a,b)所在的类相当于自然数,a<b时(a,b)所在的类即负数。整数集上可定义加法、乘法和序关系≤,并证明其性质。进而考虑第二元不等于零的整数序偶(p,q),如果(p1,q1),(p2,q2)满足p1q2=p2q1则称这两序偶等价。同理,等价的序偶归为一类,称为等价类。一切这样的等价类构成的集定义为有理数集。(p, 1)所在的等价类相当于整数p。有理数集上也可定义加法、乘法和序关系≤,并证明其性质。通过有理数划分或有理数基本序列等价类,可把有理数系扩张为实数系。最后,可以定义实数序偶(x,y)为复数,它相当于通常写法的x+iy。关于复数的表示及其运算。数的理论是数学的一个庞大分支——分析学的基础。