数论

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  数论汉语拼音:Shulun;英语:Number, Theory of),研究整数性质的数学分支。自然数,和最简单的几何图形一样是最重要、最基本的数学概念,对它们的认识和研究与人类文明有着同样悠久的历史。例如,中国商高(约前1100)和古希腊毕达哥拉斯(约前6世纪)学派对方程 x2y2=z2 的正整数解的发现与研究,以及毕达哥拉斯学派对多角数、完全数亲和数的研究等。整数的这些令人惊叹的奇妙关系深深地吸引了人们的好奇心和兴趣,在不断地发现、提出和寻求解决有关整数之间关系的各种问题的过程中,形成了数论这一分支,并不断推动它和整个数学科学的发展。

  数论问题的一个显著特点是它的表述大多是算术的,十分初等,简单明了,但是要解决它却异常困难,绝大多数问题用初等方法根本无法讨论。欧几里得(约前300)的名著《几何原本》总结了前人和他自己关于整数性质的研究成果,是数论学科的一个导引。从欧几里得到C.F.高斯这两千多年的时间里,数论的研究方法都是初等的,逐步积累了大量零散的概念、方法、结论和未解决的问题。高斯于1801年发表的名著《算术研究》是数论发展史上的里程碑。他创立了同余理论,并在此基础上把以前孤立的内容予以严格系统的整理,建立了完整的初等数论理论,使数论真正成为数学的一个独立分支,并向几个重要方向发展,开创了现代数论的新时期。

  算术函数又称数论函数,是用来刻画整数某方面性质的。它本身是数论研究的对象,也是研究数论的重要工具。

  在探索应用各种数学方法研究各种问题的过程中,数论形成了以下分支:

  1. 以研究方法或对象为中心的各个分支,如初等数论代数数论解析数论几何数论超越数论,以概率方法为研究工具的分支概率数论计算数论等;
  2. 以研究问题为中心的各个分支,如素数分布、不定方程堆垒数论丢番图逼近等。这些分支各自形成了自己的理论体系。

  应该指岀的是:历史上对整数的研究常常综合应用几何、代数及分析方法,在近代数论的发展中更体现了这一趋向,费马大定理的证明就是最好的例证。推动数论发展的著名问题有:

  1. 素数定理,孪生素数
  2. 二元二次型表整数,平方和问题,华林问题哥德巴赫猜想
  3. 不定方程,椭圆曲线及一般代数曲线上的有理点,特别是费马大定理
  4. 圆内整点问题(又称高斯圆问题)。

  解析数论是数论中以分析方法为研究工具的一个分支。这首先是从研究素数分布问题开始的。最早作岀重要贡献的是L.欧拉;而P.G.L.狄利克雷的两个重要工作为这一分支奠定了基础;B.黎曼的著名论文《论不大于一个给定值的素数个数》则是解析数论形成为一个独立分支的标志。这一分支主要是在素数定理哥德巴赫猜想华林问题圆内整点问题狄利克雷除数问题等的研究中不断发展,并取得重大进展,形成了这一分支特有的研究方法(复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等),以及与此有密切关系的模形式理论。1896年,J.阿达马C.-J.de la 瓦莱-普桑独立证明了素数定理。I.M.维诺格拉多夫于1937年基本上证明了关于奇数的哥德巴赫猜想:每个充分大的奇数是三个奇素数之和。应该指岀的是,关于偶数的哥德巴赫猜想及黎曼猜想,是当今数学中未解决的最著名、最重要的问题。

  高斯在证明了二次互反律之后,继续探讨两个4次同余方程的解之间是否有内在联系,即“四次互反律”。他发现这一问题在普通整数范围内根本无法讨论,必须引进新的“整数”——复整数a+bi(a,b为普通整数,又称高斯整数),建立复整数的整除理论后才能研究。他还研究了二元二次型及其分类,分圆方程以及三次互反律。这是用现代代数方法研究数论问题的开端,同时数论也从研究普通整数的性质扩展到了研究代数整数的性质,从而开始形成数论中的一个新分支——代数数论。推动代数数论的发展主要是对费马大定理的研究。首先作岀重要贡献的是E.E.库默尔J.W.R.戴德金为代数数论奠定了基础;1897年D.希尔伯特的著名报告巧妙地系统总结了这一领域到当时为止的所有工作,是代数数论这一分支形成的标志。类域论是代数数论的重要研究课题。20世纪90年代,A.维尔斯最终证明了费马大定理,这是20世纪数学最光辉的成就之一。高斯关于有无穷多个实二次型(实二次域)的类数等于1的猜想,是尚未解决的著名难题。

  研究代数数超越数实数的算术性质是数论的重要内容,逐步形成了丢番图逼近超越数论分支。早在5世纪时,中国的何承天祖冲之就曾分别建议用22/7与355/113来近似表示圆周率π。这两个数都是π的连分数的渐近分数。1842年P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近定理,以及1955年K.F.罗特对实代数数,证明了更深刻的结论。C.埃尔米特(1873)和F.von 林德曼(1882)分别证明了e和π的超越性。20世纪30年代,A.O.盖尔丰德和施奈德独立地解决了希尔伯特第7问题)。欧拉常数及e+π是否是超越数则仍未解决。

  几何数论则是起源于17~18世纪间J.-L.拉格朗日和高斯等以几何观点研究二次型的算术性质的工作,最终于19世纪末叶由于H.闵可夫斯基的奠基性工作而创立。

  有的数论问题可以用高等方法来解决,但是寻求一个初等的算术解法或较初等的分析、代数解法,仍是数论中十分重要的事。一个著名的例子就是寻找素数定理的初等证明,这是由A.塞尔伯格与爱尔特希得出的。另一例子是卡坦朗猜想

  各个数学分支的方法用于研究数论问题,推动了数论的发展。反之,数论中形成的研究思想、方法和理论也被成功地应用于其他数学分支,以及物理学生物学等。随着近代计算机及数学中离散化方法的发展和应用,数论更凸显其重要性。它在计算机科学信息科学组合分析密码学计算数学管理科学等领域获得广泛应用,也给数论提出新的课题。数论的发展史表明:数论问题的研究是推进数学发展的重要动力;数论本身及数论与数学中的各个分支联系十分紧密,其互相运用,互相渗透,从而创立新的数论分支。这正是当代数论的主要特点和趋向。数论既是最古老的数学分支,又是始终活跃着的数学研究领域。

  数论不仅在中国古代有着悠久光辉的研究历史和成就,也是中国近代数学最早开拓并取得瞩目成就的数学研究领域之一。杨武之将近代数论引入中国。引导这一领域研究的是华罗庚柯召闵嗣鹤等,他们及他们为新中国培养的以陈景润为代表的优秀数论学家推动了数论在中国的发展。特别是华罗庚、陈景润等在解析数论堆垒数论方面取得了卓越成就。