数学模型

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  数学模型(mathematical model),对于现实世界的某一特定对象,为了某个特定的目的,通过一些必要的假设和简化后所作的数学描述。利用模型,通过数学的分析处理,能够对原型的现实性态给出深层次的解释,或预测原型未来的状况或提供处理原型的控制或优化的决策。它是数学理论和方法用以解决现实世界实际问题的一个重要途径。例如牛顿第二定律所描述的力和运动的关系F=ma=md2s/dt2给出了受外力F作用的物体运动的距离s(t)与F的关系。它是一个数学上的二阶微分方程,假设物体为一个质点,不存在阻力,摩擦力等的前提下描述了物体的运动与所受外力的依赖关系。这就是动力学一个最基本的数学模型。利用它就可以从理论上探讨大量的动力学的现象。当代由于数学向各门学科的全面渗透,数学不仅仅是物理学的研究工具,它已成为各门学科的一个重要的研究手段,建立数学模型最重要的步骤是首先要把研究对象通过化简,归结出它的数学结构,以便于使用数学理论和方法。由于数学模型在科学发展中的重要性,它和数学建模已经逐渐从各门学科中独立出来,成为应用数学的一个重要的方向而进入学校的教学计划。与数学的演绎推理不同,数学模型是运用数学的语言和工具,对现实世界的信息通过假设、化简加以翻译归纳的产物,因此随着研究目的、简化方式的不同,同一个原型的数学模型可以有不同的表现方式,它可以是确定型的,也可以是随机的;可以是连续型的,也可以是离散的。因此对于同一个原型,可以使用不同的数学分支,通过相应的模型进行研究。当然通过数学抽象出来的模型较之原型有更宽的覆盖面,甚至于能够描述不同学科有关对象的变化关系。由于现实世界的复杂性,科学技术发展到今天,还不能给出普遍适用的建立数学模型的准则和技巧。在一些使用模型较多的研究领域内,已经开始形成了自己的数学模型及建模体系,例如种群生态学中的数学模型,经济学中的数学模型,天气预报的数学模型,当然也包括理论力学——作为物理中运动和力学的数学模型。但多数对象还没有形成完整的体系和理论。这一类问题的模型往往因研究对象而异,有人称这一大类模型为模块插件,还有待连接成一个整体。