数学史

来自中文百科专业版
跳转至: 导航搜索

  数学史汉语拼音:Shuxueshi;英语:Mathematics, History of),数学从古到今的发展历史。数学的内容和范围随时代的不同而不同,其分期也有不同的标准。按时间顺序,数学史可以分为如下四个时期:

  1.前史时期。出现一些基本数学概念技术的萌芽。各个民族文化多少经历独特的途径掌握数与形的概念以及一些简单的数学技术,如计数、计算、土木建筑、测量、绘图等,基本上属于实用技术。另外也出现了神秘的占星术数秘术占卜术等,其中也涉及数学内容如二进制等。各种建筑上的对称图案和正多面体的列举也包含群的观念的萌芽。这个时期的数学知识是零散的,而且带有明显的文化差异。

  2.古代和中世纪时期(公元前6世纪到公元16世纪)。数学成为一门独立的科学,各文明间有着一些交流与传承,大致沿着两条路线发展:一条是古代希腊的数学建立的欧几里得几何体系,推动了证明定理的数学的发展;一条是古代中国的以代数为主的数学体系,以《九章算术》为代表。前者经过阿拉伯传到欧洲,后者可能部分影响印度及阿拉伯数学。印度数学接受了希腊数学,对阿拉伯数学也产生影响。这两条路线的会合,为16世纪为初等数学——数论、代数、几何、三角,奠定了基础。

  3.近代数学(17~19世纪)。17世纪是科学革命时代,形成符号代数学解析几何学微积分。它们有力地推动科学发展,反过来自然科学也向数学提出一系列理论问题。数学本身也出现了射影几何组合学概率演算统计图论、[[拓扑]的萌芽,而最重要的则是以微积分为起点的分析数学的发展,产生了微分方程多元微积分变分法等分支。19世纪则是数学理论的成熟时期,最终形成经典数学四大领域:数论代数学几何学分析学。19世纪也是数学对象多样化以及数学分支交叉的时期,特别是几何学出现一系列新学科:射影几何学反演几何学非欧几里得几何学仿射几何学代数几何学高维几何学微分几何学等。其中射影几何学、反演几何学、仿射几何学在1872年由F.克莱因埃朗根纲领联系在一起。分析数学也得到大发展,形成了复分析调和分析、无穷级数与渐近展开、常微分方程解析理论、常微分方程定性理论、偏微分方程等重要分支。代数学形成了伽罗瓦理论不变式论矩阵论等大分支,这些都为20世纪数学打下了基础。19世纪形成的代数数论代数几何黎曼几何李群理论也都是20世纪数学的前沿领域。19世纪重视数学自身的基础,创立了集合论符号逻辑、希尔伯特的公理理论等,它们直接改变了20世纪数学的面貌。

  4.现代数学(20世纪~ )。20世纪数学在经典数学基础上向纵深发展,形成了理论数学及应用数学庞大领域。在理论研究上,形成了元数学数理逻辑)和数学的结构理论两大新兴领域。元数学最重要的成就有不完全性定理A.M.图灵的计算理论、公理集合论等。结构理论由法国布尔巴基学派提出。他们试图用数学结构概念统一整个数学,其理论的基础部分是研究代数结构的抽象代数学,包括群论环论域论等分支,以及研究拓扑结构的拓扑学。它们相互交叉产生同调代数拓扑向量空间算子代数乃至非交换几何等许多分支。由于结构理论的发展,一系列经典难题和现代猜想获得解决,其中最重要的包括:费马大定理的证明,广义庞加莱猜想的证明,算术代数几何学一系列猜想的解决,有限单群分类的完成,阿蒂亚-辛格指标定理的建立等。在理论与应用数学的边缘,出现了计算机科学统计数学计算数学离散数学(主要是组合数学图论)、随机数学等领域,其中不仅产生重要的理论分支,如拉姆齐理论随机分析等,而且推动了数学应用范围的扩大,特别是数学规划理论对策论金融数学等。

古代文明的数学

  数学是最古老的科学知识体系。早在原始社会,人们在生产生活实践中,逐步形成对图形及数的初步认识。这段时期的开始与持续时间的长短随着民族文化的不同有着很大差异,其结果是形成自然数 1,2,3,…的观念、初步的命名法,以及符号表示法;对于简单图形的命名以及直观的度量观念如距离、面积、体积、容积等与其测量和比较。对于这个漫长时期的数学史的研究,可称为文化数学或民族数学。它在20世纪后期同文化人类学考古学一起有着很大的进展。

  前3000年左右,各大河流流域的人民先后进入成熟的、以农业为基础的社会,并产生以埃及、巴比伦、印度、中国为代表的四大古代文明。这四大文明相对独立地产生出自己的数字系统以及许多零散的数学知识。埃及的数学和巴比伦的数学在前6世纪或更早逐步汇入希腊数学,印度和中国的数学各自沿着自己固有的路线发展自己的体系,并在公元前后到公元13世纪期间达到自己的辉煌时期。其间各文明之间肯定有着或多或少的交流,但数学知识的交流及传播史在很大程度上仍所知甚少,尚有待深入研究。

  古代文明的数学大都建立在经验的基础上,以解决实际问题为目标。这些实际问题大体上可分四类:

  1. 天文观测、大地测量、历法、时间确定;
  2. 经济活动,商贸、人口统计、税收;
  3. 工程建设、宫殿坟墓、隧道、运河、灌溉系统、道路、桥梁;
  4. 产品设计与制造。

  这些活动至今也是数学应用的主要方面。不同文明由此产生一些大致类似的数学知识,同时也各有自己独特的概念及问题。共同的知识主要是计数法、进位制、由少数数码表示多个数字;加、减、乘、除四则运算;比与比例;图形的基本性质,简单图形的长度、面积和体积等。不同的知识如埃及的单位分数,中国的纵横图等。

埃及数学

  埃及古代文明可追溯到公元前4500年。尼罗河定期泛滥,淹没土地,水退后需重新丈量居民土地面积。这种土地测量知识公认为几何学的来源。前2925年左右,埃及形成一个统一国家,其后开始建造的金字塔,具有相当的精确性。这显示出埃及人已懂得不少天文及几何知识。现在所知的古埃及数学知识主要来自前2000年到前1650年的一些遗存。这些遗存有木板文书、皮草书卷,特别是5部莎草纸草书,其中最著名的是兰德纸草书(约前1650)和莫斯科纸草书(约前1850)。前者有87个问题,后者有25个问题,显示出当时的数学知识。

  埃及的记数法采用十进位,但无位值制。它用象形记号表示1,10,100,1,000,10,000,100,000,1,000,000。因此可表示100万的数字,这足以满足当时的日常需要。埃及人有计算圆柱体和截头棱锥体的正确公式,也有计算圆面积近似值的公式(π约为3.16)。埃及人的代数有最简单的二次方程。

  埃及数学的独特之处是引入单位分数,即分子为1的分数,而其他的分数均表为单位分数之和。这种做法对四则运算没有好处,但有关数学问题至今仍在研究。

  此外,埃及的数学停留在初等的、实用的阶段。它对希腊数学的影响也停留在这个水平上。

巴比伦数学

  巴比伦泛指今伊拉克的两河流域地区。约前4000年左右此地即有人定居。与埃及不同,多个民族曾在这个地区发展,并且不断斗争。现在研究的巴比伦文明的数学知识主要来自泥板文书,最早是前2000年左右,大部分是公元前600年至前300年的。泥板中300块是具有数学内容的,其中200块是各种数表,包括乘法表、倒数表、平方数表、立方数表、平方根表及复利表等。

  从这些遗存看,巴比伦数学在前500年前达到当时的最高水平,表现在巴比伦的计数法已有初步的位值制的思想。虽然其六十进位制给计算带来麻烦,但至今的分、秒计时仍继承这一传统。前1世纪,巴比伦天文学家首先把圆分为360°,这虽然与六十进位制不相干,但采用把1度分为60分,1分分为60秒的做法一定是与六十进位制有关的。这些都被希腊人接受并传到欧洲

  巴比伦高超的计算技术特别表现在数论及代数方面。在泥板文书中载有涉及一次、二次甚至三次方程的问题,而求解二次方程的方法与现在的方法基本一致,只是他们只取正根。另外,也有一些线性方程组的问题。还有一个重要成就是给出不定方程 x2+y2=z2 的整数解。

  在几何方面,巴比伦人得到一些简单平面图形面积和简单立体体积的公式。这些公式均为近似公式,显示出巴比伦数学的实用特征。它们与天文学和商业密切相关。

印度数学

  印度文明是四大古文明之一。早在前3000年,印度已产生辉煌的文明。但印度的古文化带有明显的多民族色彩,而且,在极少的时期达到统一。同时,印度的历史极不完整。印度在计算、几何、数论及代数方面均有独特贡献。前800年到前500年的《绳法经》中,已有许多涉及修建方形、圆形、半圆形祭坛的几何知识。但印度最重要的贡献还在于,公元600年前后出现的零以及十进位值制记数法。这套记数法由阿拉伯人改进并形成印度–阿拉伯数字,于13世纪流传至欧洲,成为至今各国通用的记数法。印度人明确使用负数来表示借贷、负债。628年左右,婆罗摩笈多已提出包括负数在内的完整的四则运算体系。印度人在使用无理数方面也不受限制,他们往往用试验方法来推测运算规则。而欧洲数学家中甚至有人晚至19世纪还拒绝使用负数无理数

  在代数上,印度用文字缩写和少数符号来代表运算,其符号化程度大大超过古希腊的丢番图。因此,印度在代数和数论上发明出一些方法,其中包括特殊的线性方程组的数值解法,二次方程通过配方得出求根公式,特殊的高次方程的数值解法等。对于不定方程,印度人的成就比较突出。阿耶波多(第一)及其后数学家对于一次不定方程:ax±by=c(a,b,c均为整数)提出连分数方法。印度人独特之处是对佩尔方程的求解,从婆罗摩笈多之后一直受到重视。印度人在级数求和法上也有一些贡献。但这些成就与中国数学的关系还有待数学史家的研究。

  在三角学方面,印度人对希腊三角学有重大改进。首先是用半弦代全弦,在阿耶波多(第一)的著作中就出现正弦、余弦等。其次制定三角函数表,得出角和与差的正弦公式等。这直接成为欧洲三角学的开端。

中国古代数学

  中国的古代数学源远流长、独具特点。在前13世纪的甲骨文中,已有十进位的记数法,春秋时期已有算筹,并形成以算筹为基础的算法。这反映很早中国就有十进位值制,而且有好的四则算法,如九九表至晚在前6世纪就已普及。中国数学有丰富的文献、多种类型的问题及解法,14世纪之前在世界上独树一帜。

  以《九章算术》为基础的中国数学主要成就有:3世纪(魏晋)时期的刘徽和5世纪(南北朝)时期祖冲之祖暅父子运用了出入相补原理与刘徽–祖暅原理等推证所有的面积、体积公式,建立了比较完善的面积、体积理论。7世纪(唐代)数学家王孝通在开平方法、开立方法的基础上提出一般三次方程的数值解法。13世纪秦九韶等人的解高次方程方法更是比较先进。

古希腊到欧洲中世纪的数学(公元前6世纪到公元16世纪)

  古代埃及和巴比伦的数学在前3世纪基本终结。它们的数学遗产部分为古代希腊所继承。早期希腊的文化中的数学现在所知甚少,而通常所说的古希腊数学是指前6世纪以后的数学。这是从文化史意义上来讲的。历史上希腊的黄金时代是公元前6世纪到公元前4世纪,这时文化中心遍布在地中海沿岸,其后则是罗马统治时期。但这一时期精神文化的主导仍是继承古希腊的,因此文化史上称为希腊化时期。这个时期到公元5世纪结束。在这段时期中,中国数学和印度数学也有很大发展。

古希腊数学

  公元前6世纪到公元6世纪初,大致可分为三个时期:

  1. 准备时期(前6世纪到前3世纪初)。这时期提出各种问题与方法。
  2. 全盛时期(前3世纪),又称为亚历山大里亚前期。希腊数学出现欧几里得阿基米德阿波罗尼奥斯三杰。
  3. 衰落时期(公元前2世纪到公元6世纪初),又称亚历山大里亚后期。许多人消化整理和发展前期工作。

  古希腊数学和希腊化时期的数学与其他民族和地区的数学有着明显的差异,主要特点在于除了沿着实用道路发展的计算与应用数学之外,还有一条独特的理论数学发展路线。这条发展路线是由毕达哥拉斯学派开始,经柏拉图,直到欧几里得的《几何原本》而集其大成。这条发展路线对西方近现代数学有着极大的影响。

  前300年左右,欧几里得《几何原本》问世之前,希腊已积累了一些数学知识,特别是勾股定理、无理量的发现、比例理论等。但是,只有欧几里得才提供了一种普遍的理论体系及方法。《几何原本》不仅建立了公理与公设的方法,而且把数学变成演绎与证明的科学。这在相当长的时期成为数学发展的主导方向。《几何原本》不仅建立了平面几何和立体几何,而且建立了数论与量论。

  阿基米德被认为是古希腊最伟大的数学家。他发展了前4世纪欧多克索斯创立的穷竭法,进行各种复杂的面积和体积的计算。他的独特贡献在于首先提出并解决一些立体的表面积问题。他首先计算π,并考虑与圆锥曲线有关的面积与体积的问题。

  另一位希腊数学家阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》8卷是对当时关于圆锥曲线的理论的系统总结和发展。这种对椭圆、抛物线和双曲线的系统研究对近代科学有重大影响。从圆到圆锥曲线是数学上一次重大突破。

  除了纯数学的研究外,结合天文学以及大地测量,依巴谷制作“弦表”,是三角学的先导。这些成就总结在托勒玫的经典名著《天文学大成》中。

  晚期的希腊学者在数论代数方面也有重要影响。尼科马霍斯所著的《算术入门》是一本数论教科书,在当时与代数不加区别。重要的是它脱离了欧几里得的几何代数形式,成为独立的文字代数。丢番图在公元3世纪所著《算术》研究了许多确定方程和不定方程的整数解和有理数解问题。他对不定方程的研究直接影响近代数论的发展,以至关于不定方程的研究至今以丢番图方程来命名。

  前3世纪欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯代表希腊几何学的顶峰。其后500年希腊几何学几乎没有什么进展。文献也遭到丢失或损坏。幸好公元4~5世纪,帕普斯等人对古代的工作作了评注、整理及补充,使得许多成果能保存到一千多年之后。尤其是帕普斯的《数学汇编》还包括一些直到现在仍有意义的课题,如“等周问题”和射影几何学的概念及定理。

  古希腊为初等数学的四个分支——几何、数论、代数、三角奠定基础。其中最重要的是平面几何立体几何以及初等数论。它们都收入欧几里得的《几何原本》。值得注意的是,《几何原本》中除了证明定理之外,还有构造性的问题,相当于今天的算法。

阿拉伯(伊斯兰)数学

  7世纪初,穆罕默德创立了伊斯兰教,他和他的继承人统一了阿拉伯世界,进而迅速扩张,建立起东到印度,中经北非,西到西班牙的大帝国。在阿拔斯王朝(750~1258)期间有些君主倡导学术,先后在巴格达等地形成了学术中心,吸引了各民族的学者,包括希腊人、基督徒、波斯人犹太人乃至印度人埃及人。他们整理和继承各地先进文化,进行了大量的翻译工作。在这个过程中,他们吸收了希腊的数学以及部分印度和中国的数学,并传播到中世纪的欧洲。

  从8世纪到9世纪中叶,阿拉伯人翻译了欧几里得的《几何原本》以及托勒玫的《天文学大成》,还翻译了亚里士多德阿基米德阿波罗尼奥斯丢番图等人的著作。同时还翻译了一些印度著作,特别是婆罗摩笈多的著作。在这些知识的基础上,伊斯兰世界(不限于阿拉伯)的学者也开始自己的数学的创造活动。

  阿拉伯数学的主要成就是阿拉伯数字和十进位值制以及笔算,这无疑受到印度数学的影响。

  早期的阿拉伯数学家花拉子米编写的《阿尔热巴拉和阿尔穆卡巴拉》(al-jabr w’almuqabala),直译为移项与对消。这本写于830年左右的著作在12世纪被译成拉丁文Ludus algebrae et almucgrabalaegue,其中algebrae成为现代“代数”一词的来源。他的另一著作《花拉子米算术》译成拉丁文Liber Algorismi成为现代“算法”(algorithm)的来源。在代数方程方面有奥马·海亚姆对三次方程的几何解法。阿尔·卡西还尝试用双试错法解一些四次方程。值得注意的是阿拉伯人把方幂突破了三次的限制,涉及高次。阿尔·卡西就有开五次方的例子。

  阿拉伯人的另一项重要贡献是发展三角学。特别是巴塔尼实际上使用正切、余切,得出球面三角的余弦定律,阿布·瓦法首先证明球面三角的正弦定理,得出正弦的和差化积公式。他发展精确计算三角函数的方法,制定当时最精密三角函数表。他的表被比鲁尼所超越。比鲁尼创立了二次插值法,虽晚于中国的刘焯,但早于欧洲几个世纪。伊斯兰世界对三角学的主要贡献是纳西尔丁·图西。他的《论完全四边形》首次使三角学独立于天文学,而且明确论述平面三角学球面三角学的区别。

欧洲中世纪数学

  从世界史的分期讲,欧洲中世纪约从公元500年到1500年。但对数学史来说,前后各延长一个世纪。罗马和基督教世界均对学术不感兴趣,但在君士坦丁一世宽容基督教之前,雅典亚历山大里亚的学园都还能自由活动。其后基督教迫害则日益增多。529年,罗马皇帝查士丁尼(483~565)关闭雅典学园,严禁研究及传播数学,亚历山大里亚的学园特别是图书馆遭到多次破坏。当641年阿拉伯人攻陷亚历山大里亚时,将残存的文献付之一炬,结束了希腊数学历史光辉的一章。

  5世纪到11世纪大致是欧洲的黑暗时期,学术活动基本停滞。12~13世纪随着大学的建立,学术活动重新开始。作为基础教育的四艺——算术、几何、天文、音乐都包含数学的基本内容。更高级的数学则有赖于阿拉伯文的译本。这个时期最重要的事件是L.斐波那契从东方引入印度–阿拉伯数字、位值制记数法以及商业的计算。在他的著作《算盘书》(1202)中系统介绍整数分数计算方法、开平方开立方的方法、一次二次方程的解法等。第二版(1228)中引入的斐波那契数列是他的独创,至今仍很有用。他的《实用几何》(1220)是初等几何和三角的入门书。他的著作为数学在欧洲的传播打下基础。

  14世纪开始欧洲的文艺复兴。文艺复兴时期数学是沿着两条路线发展的。一条是翻译和研究希腊的原著,在这个基础上加以发展,近代数学家F.韦达R.笛卡儿P.de费马等都是在这个基础上实现创新的。而另一条则是通过解决实际问题而发展,其中突出的有关于透视画法、天文观测和航海所需的数学、地图投影法等的研究。

  16世纪欧洲数学的一项创造是三次和四次方程求解的成功。这应该归功于费洛N.塔尔塔利亚G.卡尔达诺L.费拉里四人。解法收入卡尔达诺的《大法》(1545)之中。至此,算术、数论、几何、三角、代数五个初等数学分支形成。为17~18世纪近代数学发展奠定了基础。

近代数学

  近代前期的数学(17~18世纪) 17世纪是科学革命时期,也是近代数学大发展的时代。这个期间,欧洲数学突破了以往的许多限制,成为科学发展的有力工具。这个期间三项伟大的发明为近现代数学奠定了基础,它们是符号代数解析几何微积分。微积分的建立,解决了许多天文、力学物理学的问题,但其本身只不过是一种更为有效的演算方法,正如它历史上的名称——无穷小演算所显示的那样,并没有改变数学主要是实用的计算性学科的性质。在当时,分析与代数是不加区别的。现在看来,可以说代数进行有限的演算,而分析则进行无穷的演算。正是由于无穷演算威力巨大,才有必要和可能产生崭新的数学领域——分析数学,它是微积分的直接延续。

  从历史上看,从17世纪末微积分的建立起,分析数学的各分支就开始建立,并产生各种应用,其中包括常微分方程、无穷级数及变分法。到18世纪,函数概念、偏微分以及偏微分方程的引入以及各种数理方程的求解更加扩大了分析的领域。分析在几何、力学乃至概率论方面的应用更产生了分析力学微分几何学分析概率论等分支。

  17~18世纪欧洲的数学家大都是科学家或哲学家。这个时期的科学家超过百位,但重要的数学家只有十几位,他们大都集中在英、法等国。他们中包括韦达笛卡儿费马B.帕斯卡I.牛顿G.W.莱布尼茨伯努利家族中的雅各布(1654~1705)、约翰(1667~1748)和丹尼尔(1700~1782)。18世纪最伟大的数学家是L.欧拉J.-L.拉格朗日。到18世纪后半叶,法国数学独占鳌头,除拉格朗日之外,还有P.-S.拉普拉斯A.-M.勒让德以及在几何学取得重大成就的G.蒙日。法国数学的优势一直持续到19世纪30年代。

符号代数学

  符号代数学被公认为是法国数学家F.韦达的贡献。他首先用符号代替已知数,把可计算的对象由数推广到一般的符号(他称为类)。他确立了符号代数的原理和方法,使当时的代数系统化,因此被称为“代数学之父”。他改进了三次、四次方程的解法、给出三次方程的三角函数解法,特别是指出韦达定理(方程的根与系数的关系式),成为代数方程论的出发点。代数方程的理论到18世纪由欧拉及拉格朗日集大成,并在拉格朗日的工作中产生置换的概念,成为群论的萌芽。18世纪末,C.F.高斯给出代数基本定理第一个证明。代数学的另一个方向是线性代数方程组的求解,是1678年由莱布尼茨开创的。他首先提出行列式的概念,并在18世纪得出其与线性方程组求解的关系。对于代数方程组的求解,牛顿还得出结式的概念。其后,消元法与结式理论都得到初步发展。

解析几何

  解析几何的诞生是数学思想的一次飞跃。它代表形与数的统一,也反映几何学代数学的交叉。解析几何的主要内容是:①引进坐标,使点(乃至一般的几何对象)与数对应;②使方程与曲线(或曲面)相互对应;③通过代数或算术方法解决几何问题,反过来,对于代数方程等给出直观的几何解释。朴素的坐标观念在古希腊甚至古埃及就有了,经纬度的概念也存在很久。阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时也使用过坐标,但坐标轴直到17世纪才被引入。17世纪末,斜角坐标系得到普遍使用。

  解析几何的创立者公认为是费马与笛卡儿。费马在《平面与立体轨迹引论》中提出了解析几何学的原理:“由两个未知量决定一个方程,它对应着一条轨迹——一条直线或曲线。”这部著作写于1629年,但到1679年才出版。因此笛卡儿的《方法论》的附录Ⅲ《几何学》被认为是解析几何学的奠基之作。他利用方程与曲线的关系,不仅解决当时认为重要的作图问题,而且用以研究曲线的性质。其后发展了坐标变换的概念。J.沃利斯第一次引入负的纵坐标及横坐标,牛顿等人引入新的坐标系。解析几何最重要的应用是引进许多新曲线,找到其方程,以及按方程对曲线进行分类。这些都为微积分的发展打下基础。

  牛顿在1667年开始把三次曲线分为72种,后J.斯特林又补充了牛顿漏掉的4种,但实际应为78种。1748年欧拉在《无穷分析引论》第二卷中系统化当时的解析几何学。18世纪解析几何学的一项重要进展是由平面扩充到空间,如在欧拉的书中把二次曲面分为6种类型。

  解析几何经过近两个世纪的发展,到18世纪末至19世纪初才定型为现在的形式。这主要仰赖拉格朗日、蒙日及拉克鲁瓦。拉克鲁瓦的教科书(1798)在99年之内共印25版。

微积分及分析数学

  微积分是整个数学史上最重要的发明。古希腊的欧多克索斯和阿基米德等人为求平面图形的面积和立体体积曾使用穷竭法,但只限于考虑特殊的图形。到17世纪初,J.开普勒B.卡瓦列里等重新研究这类问题。同时笛卡儿、费马等数学家研究另外一些问题,特别是求切线的问题。费马还研究求极大极小问题。韦达、沃利斯等人探讨如何求无穷乘积等问题。诸如此类的问题最终导致微积分的产生。

  现在公认牛顿和莱布尼茨各自独立地沿不同途径发明微积分。牛顿较早得到他的流数法,但其发表晚于莱布尼茨。莱布尼茨最先于1684年和1686年发表,且其符号系统较先进。牛顿和莱布尼茨的主要贡献在于:①系统地引入微分法;②系统地引入积分法;③认识到微分与积分互为逆运算,即得出牛顿–莱布尼茨公式。一开始,他们的许多概念并不严密,经过一个世纪的整理与发展最终定型,并得到广泛应用。

  微积分的建立立即导致分析数学许多分支的发展。许多基础概念直到19世纪才真正得到阐明,如分析学的核心概念:函数、极限、连续性、可微性等。微积分的计算方法却有着不同的进步。18世纪初,微积分推广到多元函数,并研究微分方程的求解问题。

  微积分的一个重要工具是级数,两者几乎同时发展起来。函数的级数展开给函数的逼近提供了有效工具,但当时却没有正确的收敛和发散的概念。这些概念到19世纪才建立。函数按幂级数和按三角级数展开是两种展开方法。后者在18世纪后半期一直引起争论,它到19世纪初才由J.傅里叶解决。

  17世纪末,速降线问题的求解导致变分法的诞生。欧拉表述了一般的变分问题,并把它化为常微分方程问题,并给出许多应用。在此基础上,拉格朗日使用分析方法建立变分概念以及极值存在的条件,变分法也成为分析力学的工具。

  分析数学在力学及物理学中有着不可或缺的作用,使力学问题化成解微分方程的分析问题。微积分及分析数学的另一大应用领域是几何学,并由此形成无穷小几何学,即后来的微分几何学。微分几何学的核心概念是曲率。它一开始讨论平面曲线,后来研究空间曲线以及曲面。1731年法国数学家奠定空间曲线的理论。1750年,欧拉建立曲面的曲率公式。曲面理论的另一重要课题是测地线等的研究。

数论

  17~18世纪费马、欧拉、拉格朗日等得出初等数论的一些定理,并提出一些著名猜想,如费马大定理。初等数论最重要的定理——二次互反律直到1801年才为高斯证明。1770年拉格朗日证明四平方和定理。同年华林提出了华林问题。这一问题先由D.希尔伯特在1909年原则解决,最终到1986年被完全证明。费马大定理在20世纪90年代得到完全证明。1742年C.哥德巴赫提出的猜想至21世纪初尚未最终解决。

其他分支

  除了符号代数解析几何微积分数学分析外,几乎所有现代数学领域都可以在近代前期看到它们的萌芽。只不过它们的成就被这三大分支特别是微积分所掩盖。莱布尼茨在1666年写的《组合术》可说是符号逻辑的萌芽,而且包含逻辑代数的一些观念。但由于出版很晚,几乎没有影响。G.德扎格与帕斯卡关于射影几何学的思想十分先进,但很快就默默无闻,直到19世纪被再发现,才受到注意。欧拉的多面体公式(1752)和柯尼斯堡七桥问题(1736)可说是拓扑学的萌芽,但这只是零散的结果。七桥问题也被视为图论的第一个重要成果。19世纪图论问题因电路问题而有新发展。17世纪产生的最重要的分支还有概率论,当时称概率演算。它由费马和帕斯卡在1654年7月至10月间通的七封信中解决的赌博问题而奠基。他们讨论的主要问题是分赌本问题,也涉及输光问题。惠更斯也参与研究并发表概率论的第一本著作(1657)。概率演算的系统发展见于雅各布·伯努利的遗著《猜度术》(1713),其中提出弱大数定律的特殊情形。A.棣莫弗在《机遇论》(1718)一书中提出中心极限定理的特殊情形。这两大定理构成初等概率论的基石,其后近二百年的发展主要是围绕它们进行的。概率论的产生影响其他的分支发展,主要是组合数学统计数学。组合数学自古就有零散的结果,但西方的系统研究则应归功于帕斯卡的《算术三角形》。在17~18世纪,排列、组合、阶乘及其近似分析的研究一直在进行,到20世纪才形成独立的领域。统计的观念在17世纪出现,一般认为始于J.格兰特调查伦敦死亡人数(1662)。威廉·配第的《政治算术》(1690)有统计方法的系统发展及应用。18世纪在统计上最重要的贡献则是贝叶斯方法的提出,它一直影响到今天。在17~18世纪,计算数学也上了一个新台阶。最主要的成果有对数的发明、牛顿方法、拉格朗日插值方法、牛顿等人的数值积分法,以及有限差分法等。

近代后期的数学(19世纪)

  19世纪在文化史上被称为“科学的世纪”。近代自然科学在这一世纪中得到全面的发展和进步,而数学更是获得前所未有的成就。与19世纪以前的数学多从实用问题出发,结果零散的情形不同,19世纪数学形成了自己的学科体系,并逐步出现众多的学科和分支。早在19世纪初,数学专业期刊已经明显表现出纯粹数学与应用数学的分化。纯粹数学先是区别开几何与分析两大部分,后来出现代数、几何、分析三大领域。到19世纪乃至20世纪初,这种划分仍是数学最常见的分类方式。数论往往包含在代数中,但这两个领域实际上还是有较大差别的。不管怎样,19世纪的数学主要进展还是在分析与几何两大领域中。尽管纯粹数学有了巨大成就,许多大数学家仍然推动应用数学的进步。数学在力学热力学电磁学光学甚至经济学上应用,均有显著的成就,典型的例子就是预言海王星的存在以及麦克斯韦方程建立从而得出电磁波存在的结论。

  19世纪数学的发展主要是在法国德国实现的。19世纪初期,法国的拉格朗日拉普拉斯蒙日勒让德依然健在并领导着当时数学的发展方向。其后傅里叶S.-D.泊松A.-L.柯西继承了这一传统,大大发展了分析学数学物理学。同时,J.-V.彭赛列继承蒙日,复兴了射影几何学,稍后E.伽罗瓦建立伽罗瓦理论。这都是划时代的成就。其他如J.刘维尔C.埃尔米特C.若尔当G.达布等人也都在数学各分支作出贡献。19世纪末的H.庞加莱更是世界公认的最伟大数学家,他的同时代人E.比卡P.班勒卫J.阿达马é.嘉当也都开创了新领域,对后来数学产生决定性的影响。

  德国数学起步较晚,在19世纪初,只有高斯一人。19世纪30年代后,德国逐步发展成数学大国。从19世纪末到1933年希特勒上台期间,它更是世界数学的中心。百年期间人才辈出,除高斯外,有P.G.L.狄利克雷C.G.J.雅可比E.E.库默尔K.外尔斯特拉斯B.黎曼L.克罗内克J.W.R.戴德金G.康托尔克莱因希尔伯特等,他们都对数学作出决定性的贡献。德国还有许多几何学家,如A.F.麦比乌斯J.施泰纳K.G.C.von施陶特J.普吕克等,以及分析学家,如I.L.富克斯H.A.施瓦兹F.G.弗罗贝尼乌斯等,还有代数学家R.F.A.克莱布什P.A.哥尔丹等。A.胡尔维茨E.B.克里斯托费尔R.李普希茨H.闵可夫斯基等都参与许多新兴学科和交叉学科的创建。19世纪两位挪威数学家N.H.阿贝尔M.S.李也都在德国工作过。

  除法国和德国之外,其他国家也各有所长。英国数学家主要结合物理学发展数学物理学,主要有W.R.哈密顿J.C.麦克斯韦G.格林等。此外,A.凯莱J.J.西尔维斯特G.布尔等人在代数方面都有重要贡献。俄国数学家N.I.罗巴切夫斯基匈牙利波尔约是非欧几何学的奠基者,而对俄国数学发展起决定性作用的则是由P.L.切比雪夫创立的彼得堡数学学派。它在函数逼近论解析数论以及概率论三个方向上形成了自己的传统。意大利在1860年统一之后,数学也得到长足的发展。意大利数学家有E.贝蒂F.布廖斯奇E.贝尔特拉米G.里奇比安奇V.沃尔泰拉等人。他们发展了黎曼几何学积分方程。意大利数学家继德、法数学家之后对代数几何学也有一定贡献。法、德、英、俄、意五国是19世纪五大数学强国,其数学传统一直延续至今。

  19世纪,数学成为专门职业。数学家主要在大学培养,许多数学家也主要在大学工作,其任务主要是教学和研究。随着大学和学生数量的增加,数学家的人数和成果逐渐增加,数学家的交流方式也有所改变,出现了在专业数学期刊发表原创数学论文的形式。这种方式沿用至今。法国的J.-D.热尔岗编辑出版的《纯粹与应用数学年刊》(1810)是最早出版的专门数学期刊,它于1831年停刊。其后,德国A.L.克雷尔创办的《纯粹与应用数学杂志》(1826,后通称《克雷尔杂志》),法国刘维尔创办的《纯粹与应用数学杂志》(1836,后称《刘维尔杂志》),则登载高水平的原创数学论文,成为数学期刊的典范。这两种数学期刊一直出版至今。其后,各国也创立了多种期刊,至今达几百种之多。

  数学家交流的另一方式是通过科学院和数学会实现。较早成立的有伦敦数学会(1865)、法国数学会(1872)、意大利巴勒摩数学会(1884)、德国数学家联合会(1890)等。随着数学会的成立,一般也出版其相应的数学期刊。随着数学文献量的增加,最早的文摘性杂志——德国的《数学进展年报》也于1868年创刊(1942年停刊)。19世纪末,数学的国际化也得到加强。第一届国际数学家大会于1897年召开。1900年,第二届国际数学家大会在巴黎召开,希尔伯特在会上作了著名的23个数学问题的报告。

  19世纪数学的最重要成就是数论代数学几何学分析学四大领域的形成和发展,从中产生许多新的分支学科和交叉学科,为20世纪许多新领域的出现奠定基础。

近代数论

  19世纪以前的数论,只有一些零散和孤立的问题与结果。1801年高斯发表《算术研究》,标志着近代数论的系统理论的产生。高斯建立了同余理论,严格证明二次互反律,建立了二次型理论,成为数论的出发点。1837年狄利克雷证明算术序列(an+b)(a,b互素)中存在无穷多素数,为解析方法在数论中的应用开启了大门。黎曼在1859年通过复变函数论方法研究ζ函数,开创了解析数论,并提出一系列猜想。除著名的黎曼假设(见黎曼猜想)至今仍是悬案外,这些猜想在19世纪末陆续得到证明。阿达马等人由此在1896年证明素数定理,被认为是一项划时代的成就。

  19世纪数论的一个重要分支——代数数论也是由高斯奠定基础的。它对整个数学发展有重大而持久的影响。E.E.库默尔对费马大定理的研究导致理想理论的建立。其后,希尔伯特对类域论进行系统总结。

  与代数数对立的是超越数。它是不能满足任何整系数代数方程的实数复数。1844年刘维尔首先构造出第一批超越数;1873年埃尔米特证明e是超越数;1882年F.von林德曼证明π是超越数,从而严格证明,古希腊三大作图问题之一的化圆为方问题单用圆规直尺不能解决。刘维尔的方法也标志数论的分支——丢番图逼近的诞生。

  19世纪的数论还为其两个新分支——数的几何(或几何数论)与p进数论奠定基础。

代数学

  19世纪数学的最大成就之一是伽罗瓦理论的建立。自从16世纪学会求解三次四次代数方程之后,经历三个世纪的探索,不能对五次方程求解有所突破。1824年,阿贝尔首先证明,五次及五次以上代数方程一般没有根式解。1830年,伽罗瓦对代数方程的可解性给出明确的判据,它与方程的群有关。这启动了代数学的一个全新方向——群论。19世纪线性代数学基本完成,它是借助向量、行列式和矩阵发展的。此时还发展了四元数理论以及更复杂的超复数系理论,它们进而发展成线性结合代数的理论。19世纪末,代数学最为重要的发展是李群李代数的理论,特别是é.嘉当在1894年完成了W.K.J.基灵对复数域上半单李代数的分类。19世纪中期起,不变式理论是代数学家最关注的分支之一。19世纪末,希尔伯特证明了不变式理论基本定理。

几何学

  19世纪是几何学复兴并得到大发展的时期,这表现在非欧几何学的建立和各种几何学竞相出现。从数学内部来讲,几何学的文献总量超过了数学所有其他领域文献量的总和,几何学再次成为数学的中心。

  《几何原本》问世以后,欧几里得几何一直是数学的核心。17世纪微积分建立之后,分析成为数学研究的中心方向。虽然微积分发展的同时,德扎格与帕斯卡等数学家已对射影几何学作出非凡的贡献,但他们的工作很快就湮没无闻,许多研究成果失传。17~18世纪在代数学特别是分析学的影响下,代数方法和分析方法显示出比欧几里得的综合方法更大的优越性,特别体现在对曲线与曲面的度量性质与交截性质的研究上。但是由于欧氏几何被认为是物理空间唯一正确的模型,欧几里得公理方法是严格推理的典范,欧氏几何的基础仍然受到数学家的关注,其中最主要的是“平行公设”问题。这一问题是欧几里得《几何原本》中的第五公设,即平行公设可否由其他的公理和公设推出的问题,也即平行公设的独立性问题。这个问题曾困惑许多人,最终在19世纪由高斯、罗巴切夫斯基、波尔约各自独立解决。罗巴切夫斯基在1829年发表的《论几何学基础》是最早发表的非欧几何学著作。他把他的几何学称为虚几何学,后来称为罗巴切夫斯基几何学双曲几何学。波尔约通过另一种方法,即去除第五公设得到的几何,他称之为泛几何学。他们的几何学由于不被认为是现实世界的几何学而不被多数人承认。直到1868年贝尔特拉米把非欧几何学具体实现在欧氏空间中的曲面上,非欧几何学才开始逐步为大多数人接受。非欧几何学的建立在数学思想上产生了一次巨大的冲击。它打破欧几里得几何的一统天下,同时也彻底消除几何学乃至数学是一种描述客观世界的自然科学的旧观点。数学提供了一种欧氏几何与两类非欧几何。至于现实世界与哪种几何符合,则由观测和实验决定,与几何学孰真孰假无关。这造成几何学乃至整个数学思想的大解放。除了由“平行公设”引出的非欧几何学之外,还有各种更一般的“非欧几何学”,其中包括打破三维数限制的高维几何学;不是以点为几何元素的直线几何学、圆几何学、球几何学等;打破实数域的限制,出现复数域的几何学、有限几何学以及非阿基米德几何学等。

  另一类造成几何学繁荣局面的原因来自综合几何学,特别是射影几何学的复兴。1822年彭赛列的《几何图形的射影性质》的出版标志着射影几何学的新生。射影几何学对数学思想的发展也有重大影响,主要是引入无穷远点、无穷远直线等“虚”元素或理想元素,使问题大大简化,以及对偶原则的引入。射影几何学使得几何性质呈现层次性,这直接引导到1872年克莱因用群的观点把多种几何学加以统一。这个观点后来被称为埃朗根纲领。而希尔伯特的《几何学基础》更是把几何学的严密性归结为算术的严密性,为数学基础的研究打开新局面。

  由解析几何学的产生而发展出的代数几何学以及由微积分的产生而发展出的微分几何学已经成为20世纪最主要的两大几何分支。它们更多地仰赖抽象代数方法、拓扑方法以及分析方法的发展,更多地被看成独立的分支。

  19世纪几何学的另一伟大成就是黎曼几何学的建立。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说可被认为是黎曼几何学的开山之作。黎曼几何对现代几何学的发展有重要的意义。

分析学

  虽然几何学在19世纪取得辉煌的成就,但19世纪还是常被称为分析学的时代或函数论的时代。这是因为分析学的方法在19世纪继续有很大提升,同时对于整个数学的发展起着决定性的推动作用。这表现在它应用于几何学产生微分几何学的飞跃,应用于数论产生解析数论,立即解决初等方法根本无法处理的问题。在代数方程求解方面,五次方程的根虽然一般不能用根式表示,却可以通过椭圆模函数表示。在微分方程方面,分析学对于二阶数理方程的求解也有很大推动作用。19世纪的分析学不仅在方法上日益先进,而且还是建立在严格的基础上,这导致了集合论的诞生和数学基础的发展。

  19世纪的分析学主要成就是:傅里叶建立三角级数展开方法,开创了调和分析这一分支;柯西、黎曼、外尔斯特拉斯建立了复分析或复变函数论或解析函数论;阿贝尔和雅可比建立了椭圆函数论,后来发展为代数函数论;在复变函数论的基础上发展了微分方程解析理论;斯图姆和刘维尔发展了常微分方程的谱理论;庞加莱1881年建立了常微分方程定性理论;二阶数理方程的求解得出许多特殊函数并建立了位势论等学科。

  19世纪的分析学在理论和技术两方面都获得空前的发展。傅里叶在1807年引入傅里叶级数,不仅提供了解偏微分方程的有效工具,而且推动了一系列概念和理论问题的提出和解决。典型的有函数定积分集合以及测度概念理论幂级数三角级数的使用对数学的严格性提出了疑问,阿贝尔首先提出级数的收敛和发散的概念,第一次澄清过去使用不当之处。19世纪20年代起,许多数学家得出了级数的收敛性判据,在这个基础上研究了级数求和问题。19世纪80年代起,许多数学家进一步考虑发散级数求和问题,形成了渐近分析这一分支。

  分析学的严格化一直贯穿整个19世纪。19世纪初,人们凭直觉认为函数连续则一定可导,可导函数一定解析,这种错觉逐步为柯西特别是外尔斯特拉斯澄清。柯西严格地定义极限、连续、可导等概念,柯西、黎曼定义积分的概念。整个分析学的严格化由外尔斯特拉斯完成。他引入至今仍沿用的ε–δ方法,构造出处处不可微分的函数例子。至此,分析学的基础才真正牢固。

  这时剩下的工作就是建立实数的理论,这个工作最终由戴德金完成。他在1872年通过戴德金分割从有理数定义实数。同年康托尔和外尔斯特拉斯等通过另外的途径定义实数。这时问题化为有理数乃至整数的定义以及集合的问题。1891年意大利数学家G.皮亚诺用公理定义自然数。在此之前,戴德金也做了类似的工作。但是,所有这些定义都涉及无穷集合问题。为此,康托尔从1873年开始探讨点集论。他独立地建立了集合论,为20世纪的数学奠定了基础。康托尔集合论也带来一系列问题和悖论,对它们的研究直接导致20世纪数理逻辑这个领域的产生。

  1900年希尔伯特提出的23个数学问题,在历史上起着继往开来的作用。

现代数学(20世纪)

  19世纪末之前的数学往往被称为经典数学,一般划分为四大领域:数论代数、几何与分析。到了20世纪,这些经典数学领域也都继续得到发展。20世纪的数学发展特征在于:建立在集合论基础上的数理逻辑(或称元数学)和布尔巴基学派的数学结构理论的产生;新兴领域的建立,特别是拓扑学离散数学概率论(后发展为随机数学)、统计数学,尤其是计算机产生之后与计算机有关的计算数学计算机科学乃至科学工程计算等,都各自形成新的专业方向;各个学科相互交叉,形成数以百计的分支,并在此基础上对经典数学领域有重大补充和改造。

  20世纪数学的发展不仅表现在研究领域的扩大,研究质量的提高,而且还表现在文献数量上的惊人增加。19世纪的数学文献量已有比较准确的统计,约为5万到10万篇。这大约相当于2000年1年的数量。20世纪全部文献量估计为200万到300万篇。

  数学文献数量猛增是由于从事研究的数学家的人数增加以及数学研究中心逐步由欧洲扩充到全世界。特别是继德国、法国、英国之后,苏联美国已成为数学发展的大国,许多原来后进的国家也都产生出世界一流的数学家。

  以第二次世界大战为界,20世纪前期的数学中心仍然在欧洲,特别是德国和法国。德国的格丁根在克莱因与希尔伯特的领导下,发展成为公认的国际数学中心,培养出许多国际知名的数学家。20世纪最伟大的一些数学家H.外尔J.冯·诺伊曼E.诺特H.闵可夫斯基等都曾在这里生活和工作过。这期间重要的德国数学家还有K.亨泽尔F.豪斯多夫R.库朗H.霍普夫C.L.西格尔H.哈塞R.D.布饶尔K.O.弗里德里希斯H.卢伊等,以及在德国工作过的S.博赫纳E.阿廷B.L.范·德·瓦尔登等。1933年A.希特勒上台后,多数人移居国外,致使德国数学元气大伤。战后,F.希策布鲁赫J.K.莫塞H.格劳尔特G.法尔廷斯等数学家仍居于世界前列。

  20世纪初,法国数学家在函数论方面发挥影响。é.波莱尔H.L.勒贝格在测度和积分理论上有重大贡献。é.嘉当在微分几何学P.莱维概率论领域有划时代的贡献。对20世纪数学发挥巨大影响的是布尔巴基学派及其周围的数学家。从1945年到1975年,布尔巴基学派使整个数学水平上到一个新台阶。法国产生了许多有国际影响的数学家,如J.勒雷A.韦伊J.迪厄多内H.嘉当C.谢瓦莱L.施瓦尔茨J.-P.塞尔R.托姆A.格罗森迪克等,还有布尔巴基的重要成员——瑞士A.博雷尔。当代法国的数学家有A.科内和原籍苏联的M.格罗莫夫

  英国数学在20世纪上半叶主要研究经典数学,代表人物是G.H.哈代J.E.李特尔伍德W.V.D.霍奇等,第二次世界大战后,M.F.阿蒂亚J.F.亚当斯J.H.康韦A.维尔斯等有重要影响。

  20世纪欧洲各国均产生许多世界一流的数学家,如芬兰R.奈望林纳L.V.阿尔福斯瑞典L.卡尔森L.V.赫尔曼德尔挪威A.塞尔伯格奥地利K.哥德尔荷兰L.E.J.布劳威尔比利时J.L.蒂茨P.德利涅J.布尔根瑞士A.奥斯特罗夫斯基G.-W.德·拉姆希腊C.卡拉西奥多里等人,其中许多人都在主要数学中心学习或工作。

  在两次大战期间,波兰和匈牙利形成自己独具特色的学派。波兰数学家S.巴拿赫J.奈曼S.艾伦伯格A.济格蒙德A.塔尔斯基等人在泛函分析数理逻辑实分析拓扑学数理统计等许多分支创造辉煌业绩,后来许多人去美国。波兰数学在第二次世界大战后趋于式微。匈牙利数学家爱尔特希A.雷尼M.卡茨组合数学、概率论等方面国际领先,G.波利亚G.塞格里斯等人在分析和泛函分析方面有很大影响。

  意大利从19世纪末在微分几何代数几何学泛函分析复分析等领域均有出色工作,第二次世界大战后在分析、偏微分方程数论等领域有贡献。

  20世纪,美国数学开始崛起,早期大多受欧洲国家影响,产生出G.D.伯克霍夫N.维纳等一流数学家。到20世纪30年代,大量欧洲数学家来到美国,大大提升美国的数学实力。美国本土的数学家也成长起来,其中著名的有H.M.莫尔斯S.莱夫谢茨O.扎里斯基H.惠特尼M.H.斯通S.麦克莱恩J.L.杜布D.斯潘塞等。第二次世界大战后的一代更不乏国际领先人物,如J.W.米尔诺S.斯梅尔R.博特J.T.塔特R.朗兰兹W.费特J.G.汤普森P.J.科恩L.尼伦伯格P.D.拉克斯I.M.辛格等。美国不仅在纯粹数学方面有重要工作,且在统计数学、计算数学、应用数学方面国际领先。

  从1917年到1991年,苏联数学一直处于世界领先水平,先后产生上百位有国际影响的数学家。其中有A.N.科尔莫戈罗夫I.M.盖尔范德P.S.亚历山德罗夫A.Ya.辛钦L.V.康托洛维奇L.S.庞特里亚金I.M.维诺格拉多夫S.L.索伯列夫L.G.施尼雷尔曼A.O.盖尔丰德等人。20世纪60年代,出生于30年代的几位苏联数学家受到国际瞩目,特别是V.I.阿诺尔德J.I.曼宁S.P.诺维科夫Y.G.西奈等人。稍后的格罗莫夫则是当代数学大师。其后一代一代人才辈出,直至今日。

  20世纪数学有许多非西方国家的贡献,其中以日本中国印度最为突出。日本著名数学家有高木贞治小平邦彦伊藤清佐藤干夫岩泽健吉等。日本数学发展全面,在代数数论、代数几何学、李群理论、微分几何学、概率论、统计数学等领域尤为突出。中国(含华裔)著名数学家有陈省身华罗庚周炜良吴文俊等。印度数学家最著名的是S.A.拉马努金,其他还有哈瑞什昌德拉等。印度统计数学居世界领先。

  其他发展中国家以巴西阿根廷墨西哥数学较强,出现了A.P.卡尔德隆等人。伊斯兰国家与黑非洲国家也有一些数学家。

  20世纪纯数学的最大成就是作为基础的抽象代数学与拓扑学的建立和发展。由于群论环论域论以及其他代数结构的深入研究,特别是拓扑思想与工具的开发,使得整个数学发生质的飞跃。在19世纪萌芽的交叉数学学科——代数数论代数几何学整体微分几何学李群理论等成为当代数学的前沿。拓扑学的发展,产生了同调、同伦等拓扑不变量以及复形、流形、纤维丛、层等一系列概念和强有力的计算工具与方法。这些工具和方法最后归入同调代数学的范畴。数论、代数、几何、分析等都可以设计各种同调、上同调乃至广义上同调(K论及其他),通过计算可得出大量新信息。

  抽象代数的进展表现在一系列结构定理及分类定理的建立。域论取得相对完整的理论结果,p进域及有限域已有十分重要的应用。有限群论有一系列重大结果,包括奇阶群一定是可解群,以及有限单群的分类问题。李群是最活跃分支,一方面是复、实李群及李代数的结构理论和表示理论的巨大突破,另一方面是向一般域及无穷维的推广。在拓扑学几何学的影响下,组合群论中的伯恩赛德问题已完全解决。

  交换环论代数几何学奠定牢固基础,从B.L.范·德·瓦尔登韦伊扎里斯基塞尔格罗森迪克建立了抽象代数几何学,并且与数论结合,导致一系列猜想的解决,其中包括韦伊猜想莫德尔猜想算术代数几何学最伟大的成果则是A.维尔斯成功证明费马大定理。抽象代数学使数学家从域的扩张理论来研究代数数论。建立了类域论,并且向非阿贝尔类域论推广,其最新的形式则是朗兰兹纲领。20世纪末,函数域的朗兰兹对应取得了决定性的突破。

  代数拓扑学微分拓扑学的自然研究对象是流形。流形是曲线、曲面概念的高维推广。对于低维流形上的自然结构,如分段线性结构(或组合结构)或微分结构,往往不存在或者存在不唯一。典型的是,1956年J.W.米尔诺发现7维球面上有多个不同的微分结构,后来还发现8维拓扑流形不存在微分结构。有趣的是除n=4之外,n维欧氏空间Rn都存在唯一的微分结构,但R4却有不可数的微分结构。

  拓扑学一项重要成就是广义庞加莱猜想的证明。广义庞加莱猜想即与n维球面Sn同伦等价的流形一定彼此同胚。而n=3情形尚未完全解决。但是,20世纪70年代末起,三维、四维的流形理论取得一系列重大成果,特别是W.P.瑟斯顿的分类纲领以及纽结、环结的分类。

  拓扑学最突出的成就是1963年阿蒂亚和辛格证明指标公式,这是把拓扑不变量与分析不变量联系在一起的公式。它包括代数几何的基本定理——黎曼–罗赫–希策布鲁赫定理和黎曼几何学的基本定理——高斯–博内公式为其特例。它有许多推广,而且有一系列重要应用。

  自微积分建立以来,分析数学始终是数学最大的领域。分析的中心问题是“计算”,求解常微分方程偏微分方程积分方程以及变分法问题。到20世纪,分析数学除了计算问题之外,还出现一系列理论问题,它们不仅扩大研究范围,而且对于“计算”有着指导意义。

  20世纪分析数学在理论方面的主要进展是勒贝格建立测度与积分理论。它不但推动了实分析调和分析以及泛函分析的建立,而且还为概率论奠定基础。以函数空间为模式建立了希尔伯特空间巴拿赫空间乃至一般拓扑向量空间理论。它们不仅具有理论意义,而且有重要应用,如广义函数理论以及量子力学的数学理论。对量子物理的研究还导致算子代数这一分支的发展。调和分析与李群理论的结合产生抽象调和分析这一分支,它同表示论、数论等密切相关。分析学与拓扑学相结合,产生流形上的分析,又称大范围分析,其中最重要的一个分支是动力系统理论。这方面最大成就当属“KAM理论”。

  理论对于经典分析也有巨大促进。首先是建立了线性偏微分方程的系统理论,其次对过去难以处理的非线性问题有了一些方法,并由此得出一些重要应用。典型的例子有对浅水波方程(KdV方程)以及相关的一套方程有了精确解法(逆散射方法),它与代数几何学密切相关。微分几何的大量问题归结为非线性方程的求解问题。由于几何分析的进步,许多有关的问题得到解决,如外尔问题闵可夫斯基问题山边问题卡拉比猜想极小曲面普拉托问题等度量嵌入问题等。

  复分析在20世纪的重大进展有奈望林纳理论拟共形映射泰希米勒空间理论,以及比伯巴赫猜想的解决。而最突出的则是多复变函数论在拓扑学和微分几何学影响下的进步。

  20世纪末,开创了横跨诸多领域的新兴分支,如非交换几何辛几何等。

  数论在方法上有所创造,特别是密率法筛法三角和法等,使一些经典问题得到解决(如华林问题)或取得大进展(如哥德巴赫猜想),还通过初等方法证明了素数定理。在丢番图逼近和超越数论上更是取得巨大突破,不仅解决希尔伯特第7问题,而且得到了代数数有理逼近的最佳结果(罗特定理)以及贝克方法。这最终导致高斯猜想的证明以及卡塔朗方程猜想的完全解决。

  20世纪,离散数学成为重要的独立领域,其间发展了代数组合学枚举组合学拉姆齐理论,以及图论等分支。概率方法是一项重要创造。

  20世纪初,集合论的内在矛盾开始暴露出来,使数学界震动最大的是B.A.W.罗素在1901年发现的“悖论”。为了解决这个矛盾,罗素提出了分支类型论,并在此基础上,同A.N.怀特海合著三大卷《数学原理》(1910,1912,1913)。另一个解决悖论的途径是E.F.F.策梅洛于1908年提出的集合论公理化。他的公理体系后经修改和补充,成为公理集合论的一个公认的基础(ZF系统)。这样悖论从形式上得到解决。其后出现关于数学基础的大论战。以罗素为代表的逻辑主义,以L.E.J.布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义对“数学应建立在什么基础上才可靠”这类问题进行激烈的争论。为此,希尔伯特在20世纪20年代提出他的纲领:应该把包括逻辑与集合论在内的数学公理化,把公理化的数学理论用符号逻辑方法形式化得到形式系统,用有穷方法证明形式系统的相容性(或无矛盾性或协调性)。这样则可一揽子解决数学基础问题。但是,1931年K.哥德尔证明了不完全性定理,完全打破了希尔伯特的计划。哥德尔证明,如果一个包括初等数论的形式系统是相容的,则它是不完全的,即系统中存在不可证明的真命题,或者说系统中存在不可判定的命题。同时他证明,上述形式系统不能证明自身的无矛盾性。因此,要证明形式数论系统的无矛盾性(希尔伯特第二问题)就需要更强的工具。1936年,G.根岑用超穷归纳法解决了希尔伯特第二问题。

  哥德尔的研究使数理逻辑或广义的元数学转向一个新的时期。数理逻辑形成四大分支:递归论公理集合论证明论模型论。递归论引入递归函数图灵机的概念,为计算和算法奠定理论基础。由此解决一系列重大问题,如希尔伯特第10问题。公理集合论的重大成就有1938年K.哥德尔证明选择公理(CA)与连续统假设(CH)与ZF的相容性,1963年P.J.科恩证明CA与CH相对于ZF的独立性。这也就意味着像存在非欧几何一样,存在着“非康托尔集合论”,许多数学命题的真假要看在哪个公理系统之中才能判定。模型论与具体的数学分支关系更为密切,通过它得出许多数学的结论,如关于p进域阿廷猜想的证明。另一个重要成就则是非标准分析的建立。

  数理逻辑最重大的贡献是为电子计算机设计与使用奠定理论基础。由此产生理论计算机科学

  20世纪数学一大重要成就是随机数学的建立与发展。早在1654年,帕斯卡与费马在通信中求解赌博中两大问题——分赌本问题与输光问题导致概率论的诞生。其后50年古典概率论虽日趋成熟,但没有形成一个有体系的独立学科。这个情况在20世纪初才开始转变。从20世纪20年代到40年代被称为概率论的英雄时代。在这段时期,四位数学家对概率论作出划时代的贡献。他们是美国数学家N.维纳,苏联数学家科尔莫戈罗夫、法国数学家P.莱维和日本数学家伊藤清。1933年科尔莫戈罗夫将概率论公理化,标志着现代概率论作为一个独立数学领域的正式诞生。

  20世纪概率论除了更深入研究以大数定律中心极限定理为主的极限定理外,还产生两大新方向:随机过程论随机分析。典型的随机过程是布朗运动,它曾是经济学及物理学的研究对象。1923年维纳建立布朗运动的数学基础。它具有许多重要过程的特性,其中包括马尔可夫过程独立增量过程(又称莱维过程,来自P.莱维从1937年起的研究)、鞅(来自1935年莱维的研究,1939年J.维拉正式命名)以及高斯过程(又称正态过程)等。这些过程均为随机数学重要的研究对象。另一类过程是平稳过程,由苏联数学家A.Ya.辛钦在1934年建立。随机数学的另一重要方向是随机分析,由伊藤清在1942年建立。这是建立在随机变量基础上的分析数学,相应有随机微分随机积分随机微分方程随机变分法(马里阿文演算)等。它们同分析数学在经典数学中一样,是随机数学理论及应用的重要工具。20世纪后半叶,随机数学已成为研究偏微分方程、调和分析、几何分析等数学的重要工具,并成为数学物理(特别是统计物理量子物理)的理论基础。概率论层出不穷的应用也令人瞩目,典型的例子是20世纪90年代发展起来的金融数学以及信息论中的滤波问题

  20世纪数学发展的一个重要特征在于数学在越来越广泛的领域获得应用。17~18世纪,数学与自然科学几乎是密不可分的。到了19世纪,纯粹数学与应用数学已有一定的区分。从19世纪末到20世纪30年代德国出版的《数学科学百科全书》来看:1、2、3卷分别是数论与代数学、分析学、几何学,属于纯粹数学;4、5、6卷分别是力学、物理学、天文学与测地学,反映当时的应用数学。但到20世纪,特别是40年代之后,数学的应用范围远远超出传统的领域。与数学密切相关,几乎完全靠数学理论及方法进行研究的领域也越来越多,它们往往从数学中独立出去,形成与数学平起平坐的领域。这些领域包括:统计数学统计科学)、科学与工程计算理论计算机科学理论信息科学系统控制与优化运筹学管理科学工业与应用数学、各种数理科学等。虽然它们的数学特征明显,但常被看成属于其他领域。实际上,即使到现在,这些领域中的许多问题仍是典型的数学问题。例如,信息科学中的编码理论密码学,由J.冯·诺伊曼一手创立的对策论等。

  统计数学虽以概率论为基础,但它是一门方法和工具性的科学。统计实践溯源很早,近代统计同概率论一样,始于17世纪。直到19世纪末,数理统计才正式成为一门学科。对统计数学作出主要贡献的有K.皮尔逊R.A.费希尔E.S.皮尔逊J.奈曼A.瓦尔德H.克拉默等人。K.皮尔逊奠定了大样本统计的基础。他的学生W.S.戈塞特开创了小样本理论。费希尔对现代数理统计的形成与发展作出的贡献主要有开创试验设计,设计比较分析小样本的方差分析,建立以最大似然估计为中心的点估计理论以及信任推断法的区间估计法。

  20世纪末,各国数学家提出几千个数学问题,以代替希尔伯特问题,指引21世纪数学的研究方向。这显示出未来有大量理论和应用问题引导数学更进一步的发展。