拓扑空间

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  拓扑空间汉语拼音:Tuopu Kongjian;英语:Topological Space),赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构,使之能引入微积分中的极限和连续的概念,这样的结构就称为拓扑,具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种,如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。下面介绍开集系方法。在微积分学中,实一维欧几里得空间R′上的开集具有性质:①任意个开集的并是开集 。②有限个开集的交是开集。③R′及空集拓扑空间1.jpg是开集。对任一非空集合X,若X的一个子集族J满足:①J中元的任意并在J中。②J中元的有限交在J中。③X、拓扑空间2.jpg在J中,则称J是X的一个拓扑,J中的元称为开集,X连同拓扑J称为一个拓扑空间,记为(X,J)。

  对任意x∈X,如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。如果X的子集A满足X-A是开集,则称X是闭集。

  设X是非空集合,令J0={X,拓扑空间2.jpg},称(X,J0)为平庸拓扑空间,J0为平庸拓扑。令J1={A|AÌX},称(X,J1)为离散拓扑空间。在离散拓扑空间中任意子集均是开集。对实数集R1,令J={BÌR1|"x∈G,∈ε>0,使(x-ε,x+ε)ÌG},则(R1,J)就是一维欧几里得空间。类似地可定义n维欧几里得空间Rn。

  设X是拓扑空间,如果X可写为非空开集的分离并,则X称为连通空间;如果对X中任意两点,存在X中的道路相连接,则称X为道路连通空间;如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 ,则称X为紧空间;如果X中的任意序列有收敛子列,则称X是列紧空间;如果X中任意两点都存在不相交的邻域,则称X是豪斯多夫空间(或T2空间)。上面所提连通性,道路连通性、紧性、列紧性、T2性均是拓扑不变性。连通空间上的实值连续函数具有介值性,即若f∶X→R1连续,X是连通空间,r∈(f(x1),f(x2),则存在c∈(x1,x2)(或c∈(x2,x1)),使f(c)=r。紧空间上的实值连续函数具有最大值、最小值。紧空间上的连续函数一致连续。若AÌRn,则A为紧,当且仅当A是有界闭集。