悖论

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  悖论汉语拼音:Beilun;英语:paradox),自相矛盾的说法。即如果承认这个说法正确,就能推出这个说法不正确,反之,如果承认这个说法不正确,却又能推出这个说法正确。1900年前后在集合论中出现了一些悖论,例如罗素悖论和康托尔悖论。

  ①罗素悖论。把所有满足条件x不属于x的集合x组成一个集合A,即 A是一切不属于自身的集合所组成的集合, A={x|xx}。在初期的集合论中,这样定义一个集合是允许的,既然承认A是一个集合,那么它是否满足AA?假定AA,那么A属于所定义的集合,即A∈A,矛盾;假定A∈A,于是A不属于这样定义的集合,即AA,也自相矛盾。

  ②康托尔悖论。设V 是由一切集合所组成的集合。考虑集合V的基数,康托尔证明,V的幂集P(V)的基数(V)大于;但根据V的定义,任何集合都是V的子集,因而不存在其基数大于的集合,自相矛盾。

  这些悖论在当时震动了数学界。产生悖论的原因是那时的集合论本身还不够严格。为了避免悖论,数学家们重新研究集合的概念,进行严格整理,于是产生了多种集合论公理系统。