微积分学

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  微积分学(differential and integral calculus),数学的基础分支。内容主要包括函数极限微分学积分学及其应用。函数是微积分研究的基本对象,极限是微积分的基本概念,微分和积分是特定过程特定形式的极限。17世纪后半叶,英国数学家I.牛顿德国数学家G.W.莱布尼兹,总结和发展了几百年间前人的工作,建立了微积分,但他们的出发点是直观的无穷小量,因此尚缺乏严密的理论基础。19世纪A.-L.柯西K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上;加之19世纪后半叶实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻完善。

  极限的思想方法可追溯到古代,3世纪,中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积,求出圆周率π的近似值3.141024,并指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆合体而无所失矣”。刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法,正是极限思想的具体体现。

  微分学的基本概念是导数。导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。

  积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。主要内容包括积分的性质、计算,以及在理论和实际中的应用。不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。定积分概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问题的基本思想是用有限代替无限;基本方法是在对定义域[a,b]进行划分后,构造一个特殊形式的和式,它的极限就是所要求的量。定积分除了可求平面图形的面积外,在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”。

  联系微分学和积分学的基本公式是:若f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)的原函数,则联系微分学和积分学的基本公式.jpgf(x)dx=F(b)-F(a)。通常称之为牛顿-莱布尼兹公式。因此,计算定积分实际上就是求原函数,也即求不定积分。但即使f(x)为初等函数,计算不定积分的问题也不能完全得到解决,所以要考虑定积分的近似计算,常用的方法有梯形法和抛物线法。