微积分

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  微积分汉语拼音:Weijifen;英语:Calculus),研究函数微分积分以及两者之间关系的数学分支。它是近代数学的基础,并在力学物理学化学天文学及其他自然科学以及工程技术中有广泛应用。历史上,微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲,微积分是一门研究变化的科学,正如几何学是研究形状的科学,代数学是研究代数运算和解方程的科学一样。

简史

  微积分的产生是科学史上的一个重大事件。它是I.牛顿G.W.莱布尼茨在17世纪后半叶彼此独立创立的。尽管如此,应当说微积分也是历史和社会发展的产物。16世纪欧洲文艺复兴后,由于航海、机械制造、天文观测以及军事等方面的需要,数学从过去只研究常量而拓展到研究变量。这是数学发展上的历史转折。在这一过程中,R.笛卡儿引进了坐标概念,为描述空间质点的位置及其变化提供了重要途径。后来又有许多人,如B.卡瓦列里P.de费马G.P.de罗贝瓦尔E.托里拆利I.巴罗等人都对变量的研究作出了贡献。在他们的一些著作中包含着微积分某些初步的思想。牛顿与莱布尼茨正是在这些人的工作基础上系统地创立了微积分的理论。

  微积分的创立对当时的数学与自然科学的发展产生了巨大影响。过去人们不会计算的曲线所围的面积,或弯曲曲面所围的体积,而微积分对此提供了一般方法。此外,有了微积分之后,在相当一般的条件下,人们能处理各种极值问题。微积分广泛地为力学物理学提供了语言和工具,如力学中的瞬时速度加速度以及一个变动的力所做的功等,从此有了准确的描述和计算方法。特别值得提出的是,牛顿利用微积分的理论,在开普勒三大定律的基础上导出了万有引力定律

  牛顿与莱布尼茨时代的微积分是建立在无穷小概念的基础上的。但他们关于无穷小的概念明显地存在着混乱。无穷小到底是个什么,牛顿和莱布尼茨都没有给出合理的解释。在当时微积分的推演过程中,无穷小有时被看成是零,而有时又被看成不是零。

  19世纪A.-L.柯西K.外尔斯特拉斯等人建立了极限的严格理论,并把无穷小量解释为极限为零的变量,消除了微积分和级数理论中逻辑上的混乱,并且为整个分析学的进一步发展奠定了基础。

研究对象与内容

  微积分研究的基本对象是函数。所谓函数,粗略地说就是因变量与自变量之间的一种确定的依赖关系。

  在微积分的研究中,极限是一个基本工具。假若当自变量x无限接近某个值a时,相应的函数值y=f(x)与某个数A无限接近,则说,当自变量x趋于a时,该函数y=f(x)的极限为A;或者说,当x趋于a时,f(x)趋于A。

  研究函数的因变量与自变量的变化比率导致了函数导数的概念。设y=f(x)在一点a的附近有定义。考虑自变量x的在点a一个改变量Δx=x-a。与其相应的因变量y的改变量是Δy=f(a+Δx)-f(a)。若当Δx趋于零时,因变量的改变量与自变量的改变量之比Δy/Δx的极限存在,则称该极限为函数y=f(x)在点a的导数,或微商,记为f′(a)。

  函数的导数有明显的物理意义与几何意义:当s=s(t)是路程函数时,也即t代表时间,而s(t)代表运动物体从开始到时刻t时所走过的路程,那么函数的导数s′(t)则是运动物体在时刻t时的瞬时速度。当y=f(x)是一条曲线的方程式时,那么函数在一点a的导数f′(a)则是该曲线在点(a,f(a))处的切线的斜率。   一个函数y=f(x)的导数所对应的函数f′(x)称为f的导函数。常见函数有很简单的计算公式。比如:

    (sinx)′=cosx
    (cosx)′= -sinx
    (ax)′=axlna

  导数可以用来研究函数的性质。如果一个函数的导函数总是正的,那么它的函数值随自变量增大而增大;如果导函数总是负的,那么其函数值随自变量增大而减小。一个处处有导数的函数在一点达到极大或极小时,则函数在该点的导数为零。因此,微分学为研究极值问题提供了一般方法。

  微分学中的另一个基本概念是微分的概念。设函数y=f(x)在一个固定点a附近有定义。假定有一个常数A使得,当Δx很小时有

    f(a+Δx)-f(a)=AΔx+αΔx

式中α→0(Δx→0),则称函数f在a可微,并把AΔx称作函数f在a处的微分,记作df。

  这样,一个函数的在一点处的微分,实际上就是因变量在该点的改变量Δy的主要部分,其次要部分是一个较高阶的无穷小量;而这个主要部分是自变量改变量Δx的线性函数。

  对一元函数而言,函数在一点a可微的充要条件是它在该点有导数,并且函数在a点的微分就是它在该点的导数乘以Δx,也即df=f′(a)Δx。当Δx很小时,函数在一点附近的值f(a+Δx)可以用函数在该点的值及其微分近似表示:

    f(a+Δx)≈f(a)+f′(a)Δx

这样,在知道了函数及其导数在一点的值之后,便可以计算函数在该点附近的近似值。

  如果说微分学是研究函数的局部性态,那么积分学则相反:它是研究函数的某种整体性质。比如,已知速度函数,求在一定的时间间隔内所走过的路程。又比如,已知一条闭曲线的方程,求它所围的面积。

  积分概念的萌芽思想可以追溯得很早。3世纪中国古代的数学家刘徽割圆术以及其后的祖冲之关于圆周率的计算,都包含了积分的萌芽思想。

  积分有两种:定积分和不定积分。

  设y=f(x)是一个给定的函数。若函数F(x)的导函数F′(x)等于f(x),则称F是f的一个原函数。f的一个原函数F加上一个任意常数C,就是f的不定积分。

  函数的定积分的定义略微复杂。在微积分创立初期,定积分并没有严格定义,而是笼统地认为定积分是无限个无穷小量的和。后来B.黎曼给出了严格定义。

  定积分的概念有广泛的应用。很多物理和几何的问题可划归为一个定积分的问题,如求变动的力所做的功,求一条光滑曲线的长度或者非均匀密度的物体的质量等。

  牛顿与莱布尼茨的重大贡献在于他们指出了定积分与原函数间的联系。

  以上主要说明了一元函数的微积分,称为一元微积分。

  一个因变量若由多个自变量决定,则其对应关系称作多元函数。关于多元函数的微积分称为多元微积分

  多元函数的微积分要比一元函数的情形复杂些。与一元函数导数对应的是多元函数的偏导数,而与定积分对应的则有多元函数的多种积分:重积分曲线积分曲面积分。牛顿–莱布尼茨公式在多元函数情形的推广则是格林公式斯托克斯公式等。

  多元微积分在力学和物理学中有广泛的应用,许多力学与物理现象和规律要用多元微积分和偏微分方程描述。

微积分的进一步发展

  在牛顿与莱布尼茨创立了微积分之后,微分学积分学的研究不断深化,并在力学与物理学广泛应用中发展起了级数理论、积分方程微分方程变分法的理论,到了18世纪逐步形成一个大的数学分支——分析学,其中应该特别提到的是L.欧拉J.-L.拉格朗日的重要贡献。在19世纪,柯西等人的极限理论使微积分的理论基础得到完善,同时微积分和级数的理论,被柯西、黎曼和外尔斯特拉斯推广和应用到复变量函数上,形成了完整的解析函数论。在20世纪初,H.L.勒贝格提出一种新的积分“勒贝格积分”,其定义不同于上述的黎曼积分的定义。它使得更广泛的函数有积分存在,并在数学理论上具有很多更好的性质。新的积分为泛函分析的发展奠定了基础。后来又出现了比经典导数更为广泛的广义导数的概念,使微分方程理论得以进一步发展。值得注意的是,这些推广不单是数学理论上的需要,而且也是物理学或其他研究的需要。20世纪下半叶,以微积分为基础的分析学与其他数学分支相互交叉形成许多新的研究领域。