弹性力学

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  弹性力学汉语拼音:Tanxinglixue;英语:Elasticity),研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力的固体力学分支。又称弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础,广泛应用于建筑、机械、化工、航空、航天等工程领域。

简史

  中国的郑玄是最早定量地研究弹性定律的人。英国的 R.胡克于1678年和法国的E.马略特于 1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律,后被称为胡克定律。I.牛顿于1687年确立了力学三定律(见牛顿运动定律),同时数学也在飞跃发展,建立弹性力学数学理论的条件已大体具备。17世纪末,人们开始研究梁的理论。到19世纪20年代法国的 C.-L.-M.-H.纳维和 A.-L.柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在 1822~1828年发表的一系列论文中,明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念,建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律,从而奠定了弹性力学的理论基础。1855~1856 年间法国的A.J.C.B.de圣维南发表了柱体扭转和弯曲的论文,其中理论结果和实验结果密切吻合,为弹性力学的正确性提供了有力的证据。1881年德国的H.R.赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布。1898年德国的G.基尔施在计算圆孔附近的应力分布时,发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象,对提高机械、结构等零件的设计水平起了重要作用。在这个时期,弹性力学的一般理论也有很大发展,建立了各种关于能量的定理和原理,如弹性力学虚功原理和弹性力学最小势能原理,1872年意大利的 E.贝蒂建立的功的互等定理,1873~1879年意大利的 A.卡斯蒂利亚诺建立的弹性力学最小余能(即余应变能)原理。还发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法,如瑞利-里兹法,为直接求解泛函极值问题开辟了道路,推动了力学、物理、工程中近似计算的发展。1913~1915 年俄国的布勃诺夫和伽辽金提出了布勃诺夫-伽辽金法。后来,苏联的穆斯赫利什维利于20世纪30年代发展了复变函数的应用,为求解弹性力学平面问题提供了有力的工具。积分变换和积分方程等在弹性力学中的应用也有了新发展。从20世纪20年代起,弹性力学在发展中出现了许多边缘分支:各向异性和非均匀体理论,非线性板壳理论和非线性弹性力学,热弹性力学,气动弹性力学,水弹性力学和粘弹性力学等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外还建立了弹性力学广义变分原理。

基本规律

  包括变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律。弹性力学许多定理、公式和结论都可从这3个基本规律推导出来。

  ①变形连续规律。弹性力学只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体,在变形过程中,物体不产生新的不连续面。如果物体中本来就有裂纹,则只考虑裂纹不扩展的情况。反映变形连续规律的数学方程有两类:几何方程和位移边界条件。

  ②应力-应变关系。弹性体中一点的应力状态和应变状态之间存在着一定的联系,应力和应变之间存在着对应的关系。若应力和应变呈线性关系,这个关系便称为广义胡克定律(见胡克定律)。

  ③运动(或平衡)规律。处于运动(或平衡)状态的物体,其中任一部分都遵守牛顿运动定律。反映这个规律的数学方程有两类:运动微分方程和载荷边界条件。

弹性力学问题的提法和求解

  为了阐明一个弹性力学问题,需要说明物体的形状和物体各部分由什么材料组成;说明物体所承受的载荷,包括体积力fi,自由边界上的载荷;说明此物体和其他物体的连接情况。对弹性力学的平衡问题,说明上述3个方面即可。但对弹性力学的动力问题,还需说明物体的初始状态。

  求解一个弹性力学问题,就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。但在各种具体问题中,常常只关心其中的某几个函数。所以在实用上,往往不必确定全部函数。求解时可用实验方法、数学方法,也可用实验和数学相结合的方法。实验方法是用机械的、电的、光的以及其他手段在实物上或模型上测量所需的量。许多复杂而难于计算的问题都是用实验方法求解的(见实验应力分析)。数学方法就是根据几何方程、应力-应变关系、运动(或平衡)微分方程、位移和载荷边界条件以及初始条件,解出ui、εij、σij等 15个函数。数学方法的优点是提供的数据比较全面,但只适用于不太复杂的问题。对于一些实用上重要的弹性力学问题,常需同时用实验和数学两种方法求解,以保证结论的可靠性。

常用的数学方法

  可分成两类:

  ①精确解法。包括分离变量法和复变函数法。弹性力学中的许多精确解是用分离变量法求得的。根据物体的形状,选择一合适的曲线坐标系并写出相应于该坐标系的弹性力学微分方程和边界条件,如果微分方程中的变量能够分离,通常便可求得问题的解。能用分离变量法求得精确解的问题有:无限和半无限体的问题,球体和球壳的问题,椭球腔的问题,圆柱和圆盘的问题等。能化为平面调和函数或平面双调和函数的问题,它们当中的许多重要精确解都是用复变函数法求得的。

  ②近似解法。为求解一些复杂问题,在弹性力学中还发展了许多近似解法。能量法就是其中用得最多的一类方法,它把弹性力学问题化为数学中的变分问题(泛函的极值和驻值问题),然后再用瑞利-里兹法求近似解。工程界当前广泛使用的有限元法是能量法的一种新发展。差分法也是一种常用的近似解法,其要点是用差商近似地代替微商,从而把原有的微分方程近似地化为代数方程。此外,边界积分方程、边界元法和加权残数法对解某些问题也是有效的手段。

工程结构元件的实用理论

  从广义上说,各种工程结构元件(如杆、板、壳)的实用理论都是弹性力学最有实用价值的分支。这些实用理论分别依据结构元件形状及其受力的特点,对位移分布作一些合理的简化假设,对广义胡克定律也作相应的简化,从而使数学方程既得到充分简化又保留了主要的力学特征。从弹性力学看,这些结构元件的实用理论都是近似理论,其近似性大多表现为按照这些理论计算得到的应力和应变不能严格满足胡克定律。