巴拿赫空间

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  拿赫空间拼音bā ná hè kōng jiān),(英语:Banach space),赋予范数的完备的线性空间。范数是通常熟悉的长度概念的拓广。 一个数域K上的线性空间X,如有从X到R的函数‖·‖,满足:‖x‖≥0,‖x‖=0Ûx为零元;‖a x‖=|a|‖x‖, a ∈K; ‖x+y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ ,则称‖·‖为X上的一个范数。例如在R中,让每一元x与‖x‖=|x|对应,这里|x|表示通常的绝对值,则‖·‖为R 上的一个范数。 又如,设 X ={f:f为定义在 [a, b] 上的连续函数},在X中引入加法和数乘如下:f,g∈x,(f+g)(t)=f(t)+g(t),(a f)(t)=a·f(t),则 X成为线性空间,又对每一f ∈X,定义,则可以验证‖·‖为X上的一个范数,故X是线性赋范空间,并且每一{fn}X,若其为基本列,即‖fm-fn‖→0,则必有f∈x,使‖fn-f‖→0。所以X是巴拿赫空间。

  巴拿赫空间是泛函分析研究的基本空间之一。自1922年提出巴拿赫空间的概念,尤其是自1932年,S.巴拿赫的著作《线性算子理论》问世以后,人们对巴拿赫空间理论进行了系统深入的研究,60年代以来,取得迅速发展,许多问题得到了解决。最重要的成果之一是1973年P.恩夫洛给出了例子,表明可分的巴拿赫空间不一定有基,从而对巴拿赫的古典问题以否定的回答。此外,人们从不同的角度和需要,对巴拿赫空间的理论进行了广泛深入的研究,如对偶理论、各种收敛性、算子谱论等,使巴拿赫空间的理论日臻完善,并得到多方面的广泛应用。