实数

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  实数汉语拼音:Shishu;英语:Real Number),有理数概念的推广。只有有理数,达不到数学应用的基本要求之一——以确定的数表示给定的量,例如边长为1的正方形对角线之长就不能用有理数表示。数学自身的发展,例如开方、解方程等,只有有理数难于完善处理,因此必须扩充有理数。

  公元前5世纪,古希腊希帕苏斯已发现不可公度量。欧多克索斯(约前400~前347)创立了对可公度量和不可公度量都适用的关于比例的几何理论。但古希腊数学家过于强调几何和逻辑的严密性,不承认非有理数。印度数学家婆什迦罗第二(1114~约1185)等打破了有理数和非有理数的界限,运算时对两者同样处理。阿拉伯人也像印度人那样随便使用非有理数,说可公度或不可公度量之比都可称为数。欧洲数学家在16世纪前大都说非有理数不是真正的数。到了1685年,S.斯蒂文已进步到用十进小数无限逼近所讨论的量。I.牛顿在1707年强调,数应理解为某个量对取作单位的量的抽象之比。随着微积分和级数理论的建立和发展,出现了表示数的新方法。

  19世纪末期,K.外尔斯特拉斯(1859年起),H.C.R.梅雷(1869),J.W.R.戴德金(1872)和G.康托尔(1872)等分别建立了严密的实数理论。他们都采用构造性方法,通过有理数定义实数。现代也常通过公理途径建立实数理论。