大数定律

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  大数定律汉语拼音:Dɑshu Dinglü;英语:laws of large number),概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律,概率论与数理统计学的基本定律之一。又称弱大数理论。

发现

  1733年,德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。

概述

  例如,在重复投掷一枚硬币的随机试验中,观测投掷n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验,出现正面的频率(出现正面次数与n之比)可能不同,但当试验的次数n越来越大时,出现正面的频率将大体上逐渐接近于1/2。又如称量某一物体的重量,假如衡器不存在系统偏差,由于衡器的精度等各种因素的影响,对同一物体重复称量多次,可能得到多个不同的重量数值,但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式,按其收敛为依概率收敛,以概率1收敛或均方收敛,分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。

  常用的大数定律有:伯努利大数定律、辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律。