复数

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  复数汉语拼音:Fu shu;英语:complex number),形如a+bi的数。式中a,b 为实数,i是 一个满足i2=-1的数,因为任何实数的平方不等于-1,所以i不是实数,而是实数以外的新的数。在复数a+bi中,a 称为复数的实部,b称为复数的虚部,i称为虚数单位。当虚部等于零时,这个复数就是实数;当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数。由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张。

  复数的产生来自解代数方程的需要。16世纪,意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根,但公式中引用了负数开方的形式,并把i=√(-1)当作数,与其他数一起参与运算。由于人们无法理解√(-1)的实质,所以在很长时间内不承认负数的平方根也是数,而称之为虚数。直到19世纪,数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释,并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用,人们才认识了这种新的数。

  复数的四则运算规定为:

     (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,

     (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,

     (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,

      图片(c与d不同时为零)。

  复数有多种表示形式,常用形式z=a+bi叫做代数式。此外有下列形式。

  ①几何形式。复数z=a+bi 用直角坐标平面上点Z(a,b)表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。

  ②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O为起点,点Z(a,b)为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。

  ③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式

      z=|z|(cosθ+isinθ)

  式中|z|=√(a∧2+b∧2),叫做复数的模(或绝对值);θ是以x轴为始边;向量OZ为终边的角,叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。

  ④指数形式。将复数的三角形式z=|z|(cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为 eiq,复数就表为指数形式 z=|z|eiq,复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。

  复数集不同于实数集的几个特点是:开方运算永远可行;一元n次复系数方程总有n个根(重根按重数计);复数不能建立大小顺序。