复变函数论

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  复变函数论theory of functions of a complex variable,数学的一个分支学科。研究定义域与值域均为复数集的函数 。复数是形如a+ib的数,其中a ,b是任意实数,i称为虚单位,表示√(-1),即满足关系式i2=-1,复数与平面上的点(a,b)具有一一对应关系。

  L.欧拉在初等函数中引进了复变数,并给出了著名的欧拉公式eix=cosx+isinx,欧拉公式揭示了三角函数与指数函数的关系。欧拉和J.L.R.达朗贝尔在研究水力学时引用了一般的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),并提出f(z)在域D可导的充要条件是u,u 可微且满足条件δu/δx=δv/δy,δu/δy=δv/δx,这一条件后来被称为柯西-黎曼条件,而域D上的可导函数被称为解析函数或全纯函数。当u,u有二阶连续偏导数时,由柯西-黎曼条件容易推出,u,u都满足拉普拉斯方程,因而它们都是调和函数,由于它们有柯西-黎曼条件相联系,故称v是u的共轭调和函数。

  A.-L.柯西定义了复变函数的积分,建立了复积分的理论,他证明了柯西积分定理:f (z )是单连通区域D上的解析函数,则f(z)沿D内任意一条简单光滑闭曲线积分为零。从柯西积分定理可推出一系列重要结论,诸如柯西积分公式 、柯西不等式、唯一性定理,最大模原理等。特别可以证明 :解析函数一定存在任意阶导数,并且在解析域内任一点的一个邻域上可以展为幂级数。另外,还可以导出留数基本定理,利用这一定理可以证明重要的代数基本定理,还能计算一些较为复杂的定积分。

  解析函数W=f(z)作为一个映照将复数z的平面上的区域变为ω平面上的区域,而且这样的映照具有局部的近似的同向相似性,因而称为保形映射。B.黎曼关于保形映射的研究奠定了复变函数几何理论的基础,他提出并证明了保形映射的存在唯一性定理:设D为边界多于一点的单连通区域,z0∈D ,则存在唯一的解析函数ω=f(z)将D双方单值保形映射为单位圆|ω|<1,且满足f(z0)=0,f(z0)>0。根据这个定理,单连域上的解析函数常常可以化到单位圆上去研究,因而保形映射在复变函数应用上具有重要地位,H.E.茹科夫斯基用保形映射研究飞机机翼绕流升力问题就是著名的例子。在黎曼之后,C.卡拉西奥多里进一步提出,上述映射定理中,若的边界是一条简单闭曲线L,则f(z)可以连续开拓到上,且实现L到|ω|=1的一一对应连续映射。

  K.魏尔斯特拉斯以幂级数为工具研究解析函数,当幂级数有正收敛半径R时,则幂级数的和函数f(z)在收敛圆内为解析函数,而在收敛圆周上至少有一个奇点z0,即不存在在以z0为心的小邻域Δ内解析,而在Δ∩(|z|<R)上等于f(z)的函数。若在收敛圆周上有一点z1不是奇点,则存在z1的邻域Δ1,在Δ1上有一解析函数g(z),Δ1∩(|z|<R)上g(z)=f(z),这样f(z)就被解析开拓到了|z|<R外,用这样的方法作所有可能的开拓,得到的函数被称为魏尔斯特拉斯完全解析函数。

  完全解析函数可能是单值的,也可能是多值的。对于单值函数,最基本的两类是整函数和亚纯函数,整函数是在全平面上的解析函数,它是多项式的推广,它有推广的因式分解定理,亚纯函数是有理函数的推广,它有推广的部分分式展开定理,这两类函数的重要研究课题是值分布理论,毕卡定理是值分布理论中的古典定理,而R.奈望林纳建立了亚纯函数值分布的近代理论,对函数论的发展产生了重要影响。

  对于多值性完全解析函数,存在有一些称为支点的点,当自变量绕支点一周时,函数值会由一个分支值连续地变为另一个分支值。这类多值函数在黎曼曲面上可成为单值函数,后来又建立了抽象黎曼曲面的概念,成为现代数学基本概念——流形的雏形。抽象黎曼面不仅自身理论完美,而且它为代数几何、自守函数、复流形、代数数论等近代数学重要分支的研究提供了简单明了的模型。

  单位圆上规范化的单叶函数:z+a2z2+……+anzn+……,曾由于著名的比伯巴赫猜想:|an|≤n而被许多数学家所研究,其研究成果促进了单叶函数几何理论的发展,这一猜想于1984年为美国数学家L.德布朗基完全证实。

  L.伯斯和I.N.韦夸引入广义解析函数概念,它是与柯西-黎曼条件有关的一个偏微分方程组的复解,由这类解所确定的映照称为拟保形映射,是现代复变函数论研究的重要课题。除此之外,解析函数的边界性质,解析函数的正规族理论,H∧p空间理论等都是复变函数论现代研究方向。

  单复变函数论到多复变函数论的推广似乎应该是很自然的,但实际研究结果表明,由于定义域的复杂性引起了许多本质的差异。使多复变函数理论的建立需要借助于更多的近代数学工具,它还有大量的基本课题有待研究。

  复变函数论已有750年的历史,它以其完美的理论和精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分,曾推动一些学科的发展,在解决某些实际问题中复变函数论也是强有力的工具,它的基础内容已成为理工科大学许多专业的必修课程。