塑性力学

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  塑性力学(plasticity),固体力学的分支,研究物体受力超过弹性极限后产生的永久变形和作用力之间的关系,以及物体内部应力应变的分布规律。以实验为基础,从实验中找出受力物体超出弹性极限后的变形规律,据以提出合理的假设和简化模型,确定应力超过弹性极限后材料的本构关系,从而建立塑性力学的基本方程。解出这些方程,便可得到不同塑性状态下物体中的应力和应变。

  基本实验 分两类:单向拉伸实验和静水压力实验。通过单向拉伸实验可以获得加载和卸载时的应力-应变曲线以及弹性极限和屈服极限的值(见材料的力学性能);在塑性状态下,应力和应变之间的关系是非线性的且没有单值对应关系。由静水压力实验得出,静水压力只能引起金属材料的弹性变形且对材料的屈服极限影响很小(岩土材料则不同)。

  基本假设 为简化计算,根据实验结果可采用如下假设:①材料是各向同性和连续的。②平均法向应力不影响材料的屈服,它只与材料的体积应变有关,且体积应变是弹性的。③材料的弹性性质不受塑性变形的影响。这些假设一般适用于金属材料;对于岩土材料则应考虑平均法向应力对屈服的影响。

  简化模型 塑性力学的应力-应变曲线通常有5种简化模型:①理想弹塑性模型,用于低碳钢或强化性质不明显的材料。②线性强化弹塑性模型,用于有显著强化性质的材料。③理想刚塑性模型,用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质不明显的材料。④线性强化刚塑性模型,用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质明显的材料。⑤幂强化模型,为简化计算中的解析式,可将应力-应变关系的解析式写为σ=σy(ε/εy)n,式中σy为屈服应力,εy为与σy相对应的应变,n为材料常数。

  屈服条件和本构关系 在复杂应力状态下,判断物体屈服状态的准则称为屈服条件。屈服条件是各应力分量组合应满足的条件。对于金属材料,最常用的屈服条件为最大剪应力屈服条件(又称特雷斯卡屈服条件)和弹性形变比能屈服条件(又称米泽斯屈服条件)。对于岩土材料则常用特雷斯卡屈服条件、德鲁克-普拉格屈服条件和莫尔-库伦屈服条件。对于强化或软化材料,屈服条件将随塑性变形的增长而变化,改变后的屈服条件称为后继屈服条件。当已知主应力的大小次序时,使用特雷斯卡屈服条件较为方便;若不知道主应力的大小次序,则使用米泽斯屈服条件较为方便。对于韧性较好的材料,米泽斯屈服条件与试验数据符合较好。

  由于塑性变形与变形历史有关, 因此反映塑性应力-应变关系的本构关系用应变增量形式给出比较方便。用应变增量形式表示塑性本构关系的理论称为塑性增量理论。增量理论的本构关系在理论上是合理的,但应用比较麻烦,因为要积分整个变形路径才能得到最后结果。因此,又发展出塑性全量理论,即采用全量应力和全量应变表示塑性本构关系的理论。在比例变形的条件下,可通过积分增量理论的本构关系获得全量理论的本构关系。当偏离比例变形条件不多时,全量理论的计算结果和实险结果比较接近。

  求解塑性力学边值问题时,使用的平衡方程、几何方程(即应变和位移的关系)以及力和位移的边界条件都和弹性 力学中使用的一样,只是物理关系不再用弹性力学中的胡克 定律,而采用塑性增量或全量的本构关系。

  解法 常用的求解方法:①静定法。求解简单弹塑性问题的方法。由于所求的各未知量的数目和已知方程式的数目相同,应用平衡方程和屈服条件便能将问题中的各未知量找出。②滑移线法。适用于求解塑性平面应变问题,可找出变形体中各点的应力分量和所对应的位移分量。③界限法。一个有实用价值的方法,又称上、下限法。上限法采用外力功等于内部耗散能以及结构的几何条件求塑性极限载荷,其值比完全解的塑性极限载荷大;下限法则用平衡条件、屈服条件以及力的边界条件求塑性极限载荷,其值比完全解的塑性极限载荷小。④主应力法。在屈服条件中不考虑剪应力的贡献,并假定沿某一个轴主应力的分布是均匀的。用此法能获得各应力分量的分布规律。⑤参数方程法。使用米泽斯屈服条件时,可将满足屈服条件的参数方程代入平衡方程进行求解。⑥加权残量法。一种求解微分方程近似解的数学方法。其要点是:先假设一个试函数作为近似解,将其代入要求解的控制方程和边界条件;该函数一般不能完全满足这些条件,因而出现误差即残量;选择一定的权函数与残量相乘,列出在解域内消灭残量的代数方程,就可把求解微分方程转化为求解代数方程的数值计算问题,从而得出近似解。⑦有限元法。常用的有弹塑性有限元和刚塑性有限元法,可得到变形体内的应力和应变分布规律。

  应用 包括:①结构的塑性极限分析和安定分析,对梁、桁架、刚架、拱、排架、圆板、矩形极、柱壳、球壳、锥壳、组合壳等都已获得完全解。②构件的塑性极限分析和安定分析,已求出各种带有缺口、槽、孔的受拉、受弯、受扭轴和构件的塑性极限载荷。③金属板料成形,包括深冲、翻边、扩口、缩口等工艺。④金属块体成形,包括镦粗、拉拔、挤压、锻造等工艺。⑤金属轧制,金属材料在两个反向旋转的轧辊间通过,并产生塑性变形。⑥塑性动力响应和塑性波,在防护工程、地震工程、穿甲和侵彻,高速成形,超高速撞击、爆炸工程等方面都有重要应用。⑦自紧技术,通过使结构产生有益的残余应力,以增强厚壁圆筒弹性强度和延长疲劳寿命。⑧在岩土力学中,用以研究地基承载能力、边坡稳定性、挡土墙的作用和煤柱的承载能力。⑨用以研究估算和消除残余应力的方法。