哥德巴赫猜想

来自中文百科专业版
跳转至: 导航搜索

  哥德巴赫猜想(汉语拼音:Gedebahe caixiang;英语:Goldbach's conjecture),是数论中存在最久的未解问题之一。这个猜想最早出现在1742年普鲁士人克里斯蒂安·哥德巴赫瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中。用现代的数学语言,哥德巴赫猜想可以陈述为:

    “任一大于2的偶数,都可表示成两个素数之和。”

  C.哥德巴赫与L.欧拉1742年通信中提出的猜想:(1)每个大于4的偶数是两个奇素数之和;(2)每个大于7的奇数是三个奇素数之和。显见,从(1)成立可推出(2)成立。1923年G.H.哈代和J.E.李特尔伍德应用圆法研究这两个猜测,得到了一些条件结果。在此基础上,1937年I.M.维诺格拉多夫利用改进了的圆法和他创造的估计线性素变数指数和方法,证明了每个充分大的奇数是三个奇素数之和,并得到了表法个数的渐近公式,这称为三素数定理,基本上解决了猜想(2)。1997年猜想(2)得到完全证明。所有的数值验证都表明猜想(1)正确,并证明了对于几乎所有的偶数猜想(1)成立,但是证明猜想(1)成立至今仍未解决。于是转而研究较弱的命题{r,s}:每个充分大的偶数是不超过r个素因数的乘积与不超过s个素因数的乘积之和。猜想(1)基本上就是命题{1,1}。筛法是研究命题{r,s}的主要方法。V.布龙证明了命题{9,9}(1920);1950年前后A.塞尔伯格宣布命题{2,3}成立;王元(1957)发表了命题{2,3}的证明。1948年,结合筛法及深刻的解析方法,A.雷尼证明:存在整数s使命题{1,s}成立,1962年潘承洞证明s=5,1966年陈景润得出s=2,这称为陈景润定理

起源

  1742年6月7日,普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在写给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中,提出了以下的猜想:

    任一大于2的整数都可以写成三个质数之和。

  上述与现今的陈述有所出入,原因是当时的哥德巴赫遵照的是“1也是素数”的约定。现今数学界已经不使用这个约定了。哥德巴赫原初猜想的现代陈述为:

    任一大于5的整数都可写成三个质数之和。

  欧拉在6月30日的回信中注明此一猜想可以有另一个等价的版本:

    (A): 任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。

  并将此一猜想视为一定理,但他却无法证明。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

  从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:

    (B): 任一大于5的奇数都可写成三个素数之和

  的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的,则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇素数都能写成三个素数的和,也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”,数学家认为弱哥德巴赫猜想比较接近解决。

进展

一百六十余年的沉寂

  哥德巴赫猜想相当困难。直至今日,数学家对于强哥德巴赫猜想的完整证明没有任何头绪。事实上,从1742年这个猜想正式出现,到二十世纪初期,在超过160年的时间里,尽管许多数学家对这个猜想进行了研究,但没有取得任何实质性的进展,也没有获得任何有效的研究方法。二十世纪以前对哥德巴赫猜想的研究,仅限于做一些数值上的验证工作,提出一些等价的关系式,或对之做一些进一步的猜测。1900年,希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个希尔伯特问题之中的第八个问题,就包括了哥德巴赫猜想和与它类似的孪生素数猜想。希尔伯特的问题引发了数学家的极大兴趣,但对于哥德巴赫猜想的研究仍旧毫无进展。1912年第五届国际数际数学家大会上,德国数论专家爱德蒙·朗道曾经说过,即使要证明每个偶数能够表示成K个质数的和,不管K是多少,都是数学家力所不及的。1921年,英国的大数学家哈代曾经在哥本哈根数学会议的一次演讲中声称:“哥德巴赫猜想的困难程度可以与任何一个已知的数学难题相比”。

第一次重大突破

  哈代和朗道做出以上的看法时,对哥德巴赫猜想的研究已经踏在了突破的门槛上。关于哥德巴赫猜想的第一次重大突破正是出现在二十世纪20年代。这次突破与十九世纪至二十世纪初欧洲数学家们在数论与函数论方面取得的辉煌成就是分不开的。欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿达马等人的成果为后来的研究提供了强有力的工具和深厚的积累,打下了牢固的基础。1920年左右,英国的数学家哈代和李特尔伍德极大地发展了解析数论,建立起了“圆法”等研究数论问题的有力工具。他们在1923年合作发表的论文中使用“圆法”证明了:在假设广义黎曼猜想成立的前提下,每个充分大的奇数都能表示为三个质数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个质数的和。当然,“几乎每一个”与“每一个”之间仍然有巨大的技术鸿沟。

  大约于此同时,挪威数学家布朗提供了另外一种证明的思路。1919年,他使用推广后的“筛法”证明了:所有充分大的偶数都能表示成两个数之和,并且两个数的质因数个数都不超过9个。这个方法的思路是:如果能将其中的“9个”缩减到“1个”,就证明了哥德巴赫猜想。布朗证明的命题可以被记作“9+9”,以此类推,哥德巴赫猜想就是“1+1”。