卷积

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  汉语拼音juǎn jī),(convolution),分析数学中一种重要的运算。设f(x),g(x)是R1上的两个可积函数,作积分:

    卷积1.jpg

  可以证明,关于几乎所有的x∈(-∞,∞),上述积分是存在的。这样,随着x的不同取值,这个积分就定义了一个新函数h(x),称为f与g的卷积,记为h(x)=(f*g)(x)。容易验证,(f*g)(x)=(g*f)(x),并且(f*g)(x)仍为可积函数。这就是说,把卷积代替乘法,L1(R11空间是一个代数,甚至是巴拿赫代数。

  由卷积得到的函数(f*g)(x),一般要比f,g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数,f为局部可积时,它们的卷积(f*g)(x)也是光滑函数。利用这一性质,对于任意的可积函数,都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs(x),这种方法称为函数的光滑化或正则化。

  卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。