动力系统

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  动力系统(汉语拼音:Dong li xi tong;英语:dynamic system),满足一定条件的一个常微分方程组。考虑dx/dt=X(x)其中X(x)连续,x和X都是向量:X=(X1,···,XnT∈G⊆R n。称Rn为相空间,R×Rn叫广义相空间,t ∈R,方程组的解X=x(t)称为运动 ,它在相空间所描出的图形叫做质点运动的轨线。以f(P,t)表示当t=0时过P点的解,其定义区间为(-∞,+∞)。则对每个固定的 t,f(P,t)定义了开区域G 到自身的变换,当 t∈R时,f(·,t):G→G,或 f:G×R→G。变换f具有下述性质:①f(P,0)=P;② f(P,t)关于P,t一并连续;③f[f(P,t1),t1]=f(p,t1+t2),这些变换的全体就叫做一个动力系统,或直接称x=X(x)为动力系统。

  抽象动力系统是抛开具体的微分方程,只要f是G×R到G的变换,且满足条件 ①、②、③,就称f是G上的一个动力系统,或拓扑动力系统。这是因为对固定的t,f(·,t)是从G到G自身的拓扑变换。拓扑动力系统,主要研究各种轨线的类型及它们之间的关系。为研究轨线的分类,必须研究轨线当t→±∞ 时的状况。于是有极限集、不变集、极小集等的研究 。t→+∞时的轨线则分为正向远离的、正向渐近的及P+(泊松)稳定的,负向仿此。当然也对双侧远离,渐近和P式稳定进行研究 。具有可微性质的动力系统叫微分动力系统。它研究常微系统结构稳定性、双曲性、匀断性及Ω稳定等问题。

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