初等几何变换

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  初等几何变换汉语拼音:Chudeng Jihe Bianhuan;英语:elementary geometric transformation ),将几何图形按某种法则或规律变成另一个几何图形的过程。几何图形是点的集合,所以几何变换就是两个图形点之间的一一对应,即点变换。它在几何学中有重要的作用。

  初等几何变换在平面上主要有全等变换、相似变换和反演变换。

全等变换

  它是平面上的点到其自身的一个一一对应,使其中任意两点A、B间的距离与其对应点A′、B′间之距离相等即|AB|=|A′B′|。两点间的距离是全等变换的基本不变量。全等变换也称等距变换或合同变换。图形经全等变换后与其对应图形是相等的(真正相等或镜像相等)。全等变换的特殊情况有平移变换、旋转变换和轴反射变换。平面上把每点P 按定向量AA′的方向移到点P′,使|PP′|=|AA′|的变换称为沿向量AA′的平移变换,简称平移变换或平移。在平移变换下,图形F的任意两点P、Q与其对应点P′、Q′所连线段平行且相等,故平移变换把一个图形变到与其真正相等的图形。

  平面上把每一个点P绕定点O旋转一定角θ变到点P′的变换称为绕着定点的旋转变换,简称为旋转,定点O称为旋转中心,定角θ称为旋转角。在旋转变换下|OP|=|OP′|,∠POP′=θ,图形F中的任意两点P、Q与其对应两点P′Q′所连线段必相等。旋转变换把一个图形变到与其真正相等的图形。特别地,当θ=0时,即为恒等变换(每点的对应点均为其自身的变换)。当θ=π时,称为中心反射,旋转中心称为反射中心。如果一个图形在某一中心反射下的对应图形为其自身,则称为中心对称图形,如平行四边形、圆、椭圆、双曲线均是中心对称图形。

  平面上任意一点P,若P在定直线l上,则规定其为自对应点,若P不在l上,则规定P与其对应点P′所连线段PP′被定直线l垂直平分,即P与P′对于l是对称点,这样的变换称为轴反射变换。定直线L称为反射轴。轴反射变换把一个图形变到与它对称相等的图形。在同一平面内,对于连续两次轴反射变换,当两反射轴重合时,则为恒等变换;当两反射轴平行时,则为平移变换;当两反射轴相交时,则为旋转变换。

相似变换

  它是平面上点的一一对应,使对于任意两点A、B与它的对应点A′、B′间有A′B′=λAB,(λ是正常数),当λ=1时,即为全等变换。相似变换的特殊情况是位似变换,即平面上点的一一对应,使任意点A及其对应点A′对于定点S,总有:

  ①S、A、A′三点共线;

  ②SA′=|λ|SA(λ≠0),称之为以S为位似中心,λ为位似比的位似变换。

  当λ>0时,A与其对应点A′在位似中心S的同侧;当λ<0时,A与A′在点S的两侧。当|λ|>1时,原图形被放大;当|λ|<1时,原图形被缩小。特别地,当λ=1时,即为以S为中心,旋转角为π的旋转变换。

反演变换

  它是平面上点的一一对应,对于已知中心在点O,半径为R的圆,使异于O的任一点P与其对应点P′间总有O、P、P′三点共线,且OP·OP′=R2。称P′为P的反演点,O为反演中心,R为反演半径或反演幂,所给的圆为反演基圆。反演变换具有以下性质:

  ①P与P′互为反演点;

  ②反演圆上每点的反演点为其自身,反演圆内部的点变到圆外部的点;反之,圆外点变到圆内点;

  ③通过反演中心的直线的反演为其自身,通过反演中心的圆的反演为不通过反演中心的直线;

  ④不通过反演中心的圆的反演仍为一圆;

  ⑤反演中心的反演为平面上的无穷远点;

  ⑥两圆的交角等于反演变成的两圆的交角(即反演是保角变换);

  ⑦一圆若非反演圆,它的反演为其自身的必要充分条件是它与其反演圆正交。