分析学

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  分析学汉语拼音:Fen xi xue;英语:analysis),在微积分学发展的基础上形成的一个数学分支,曾与几何学代数学一起作为纯粹数学的主要分支。

  17世纪I.牛顿和G.W.莱布尼兹同时创立了微积分。18世纪,物理学、天文学等领域提出了大量的课题,为解决这些问题,数学家们提供了新的理论与方法。只要物理上合用便予以通过,很少关注数学的严密性。产生了许多新的分支 ,如微分方程、变分法等,它们本身在最初也很难和微积分区分开来。如摆的研究导致二阶常微分方程(图1)。

  这个问题的求解便是向微分方程的挑战。二体问题已由牛顿解决,三体问题便提了出来。但这远非初等解法所能奏效。

  18世纪以后常微分方程和偏微分方程均有很大的发展 ,方程发展初期的求解析解的工作,到1841年刘维尔的工作告一段落。他指出:黎卡提方程(图2) 只当υ为非负整数时才有初等解,即经过有限次初等运算求得的显式解。于是转向证明解的存在性、唯一性及数值计算(后发展成计算数学中的常微分方程计算法,偏微分方程计算法)及定性理论的研究。不论常微分方程的或偏微分方程的计算法都因寻求级数解而引出解析理论的研究。特别是由J.-B.-J.傅里叶开始的、用展为三角级数的方法求解热传导方程,引起了傅里叶级数和傅里叶积分的研究,由此发展成现代的调和分析。

  就微积分本身来说,由于本身不严格,招致批评甚至攻击,然而它确实能解决实际问题,于是很多数学家都致力于使其严密化的工作,经过约200年的努力,A.-L.柯西建立了严格的极限理论,并将微积分植根于其中。他在1821年出版的《分析教程》、《无穷小分析教程概论》中,从定义变量开始,对函数概念引进了变量间的对应关系,摈弃了函数必须有解析表达式的观点和函数都可展成幂级数的观点。关于收敛性的研究,柯西得到著名的收敛准则。由于实数系的理论尚不完备,这个准则的充分性便无法证明,因而推动了实数理论的研究。1872年,R.戴德金的分划理论,把实数系建立在有理数的基础上,完备了实数系,补足了极限理论的不足。至此,微积分已植根于连续统的基础之上,这门学科得到了严密化。

  变分法的研究是从1696年约翰第一·伯努利提出最速降线问题开始的。问题是要求从一个给定点 P1 到(处于P1下方但不在过 P1 点的铅垂线上)P2的曲线,使下滑时间最短。这导致求函数y(x),使(图3)取极小值。L.欧拉给出了必要条件:(图4)     1879年,K.魏尔斯特拉斯给出了充分条件。1755年拉格朗日命名为变分法。

  对函数的基本性质的研究,发现了一些更深刻的现象 :如处处连续而处处不可导的函数;连续函数项级数收敛,但其和可以不连续;黎曼可积的函数序列,可以有不可积的极限函数等等。再由于傅里叶展开与积分紧密相关,显露出黎曼积分的局限 性 。这就促使 对积分理论 作进一步的探讨 。1902年H.L.勒贝格的论文《积分、长度与面积》,将他的积分概念建立在点集的测度之上,成为黎曼积分的扩充。至此,实变函数论有了自己的系统理论。

  20世纪数学发展的一个特点是,寻求普遍性和统一性 ,因而更加具有抽象性。泛函分析便是这种特点的突出反映 。其间函数已不是作为个别对象来研究,而是研究函数类。于是分析学从原来普通欧氏空间与变量间的对应关系的研究上升到函数空间不同类函数间对应关系的研究,这是一个重要的发展。于是各种空间(完备的度量空间——巴拿赫空间 、希尔伯特空间等)及其性质的研究构成了泛函分析的基本内容。

  19世纪一个独特的创造是单复变函数论,它源于流体力学中的二重积分换序问题的研究,考虑了由实数系到复数系的过渡,逐步引入了一些基本概念,如留数、解析函数、亚纯函数奇点理论等等,到20世纪则发展了多复变函数论 ,尚在继续发展。