分形

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  分形(汉语拼音:Fen xing;英语:fractal),具有一定内在规律的支离破碎、参差不齐的极端复杂的几何图形。分形最重要的特征是它的具有无穷层次的自相似性,即分形的任一局部区域放大之后仍具有分形整体上相似的复杂性和不规则性。这种自相似性表明图形满足标度不变性,不存在特征长度。某些理想的数学模型,自相似性是严格的,称为有规分形。例如科赫曲线,一个边长为 1 英尺的正三角形,将每边 3 等分,在中间一段凸造出一个正三角形,成为一个六角形;然后重复将此六角形的12条边每边 3 等分,在中间一段再凸造出一个小的正三角形成为一个48边形;于是又可将每一小边 3 等分并在中间一段凸造一个更小的正三角形,如此无限重复,构成的曲线中自相似是严格的。再例如谢尔宾斯基海绵,它是一个立方体,将每一面正方形中央的1/9剜去,然后再剜去剩下的 8 个小正方形中央的1/9 ,如此无限继续下去所形成的形体,其自相似性是明显的。在物理学或自然界存在的分形,自相似是近似的或统计的,称为无规分形。例如实际的海岸线、闪电放电通道、胶体气溶胶聚合体的有限扩散凝聚等。分形无论从局部或整体上看 ,都是极其不规则的,一般不能用传统的几何语言来描述。分形具有独特的几何属性,其空间维数是分数(见分形维数)。

  分形是一类非线性的复杂系统的共性,其数学理论还需从头建立,传统数学,比如微积分里的导数,是和光滑曲线斜率联系在一起,对于弯曲的海岸线那样的曲线传统数学无能为力。此外,对于闪电放电,有限扩散凝聚那样复杂结构生成的物理规律也尚不清楚。分形的数学理论以及分形的物理机制是非线性科学研究中的重大课程。