函数

来自中文百科专业版
跳转至: 导航搜索

  函数(functions),数学中的一种对应关系,是从某集合A到实数集B的对应。简单地说,甲随着乙变,甲就是乙的函数。精确地说,设X是一个不空集合,Y是某个实数集合,f是个规则,若对X中的每个x,按规则f,有Y中的一个y与之对应,就称fX上的一个函数,记作yfx),称X为函数fx)的定义域,Y为其值域,x叫做自变量,y为因变量。 例:y=sinxX=[0,2π],Y=[-1,1],它给出了一个函数关系。当然,把Y改为Y1=(ab),ab为任意实数,仍然是一个函数关系。

  复合函数 有3个变量,yu的函数,yψu),ux的函数,ufx),往往能形成链:y通过中间变量u构成了x的函数:

  xuy,这要看定义域:设ψ的定义域为Uf的值域为U,当U*复合函数.pngU时,称fψ构成一个复合函数,例如y=lgsinx,x∈(0,π)。此时sinx>0,lgsinx有意义。但如若规定x∈(-π,0),此时sinx<0,lgsinx无意义,就成不了复合函数。

  反函数 就关系而言,一般是双向的,函数也如此,设yfx)为已知的函数,若对每个yY,有唯一的xX,使fx)=y,这是一个由yx的过程,即x成了y的函数,记为xf-1y)。称f-1f的反函数。习惯上用x表示自变量,故这个函数仍记为yf-1x),例如y=sinx与y=arcsinx互为反函数。在同一坐标系中,yfx)与yf-1x)的图形关于直线yx对称。

  隐函数 若能由函数方程Fxy)=0确定yx的函数yfx),即Fxfx))≡0,就称yx的隐函数。

  多元函数 设点(x1x2,…,xn)∈G复合函数.pngRnU复合函数.pngR1,若对每一点(x1x2,…,xn)∈G,由某规则f有唯一的uU与之对应:fGUufx1x2,…,xn),则称f为一个n元函数,G为定义域,U为值域。

  基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。

  ①幂函数yxμμ≠0,μ为任意实数)定义域:μ为正整数时为(-∞,+∞),μ为负整数时是(-∞,0)∪(0,+∞);μ幂函数1.jpg(α为整数),当α是奇数时为(-∞,+∞),当α是偶数时为(0,+∞);μpq,p,q互素,作为幂函数2.jpg的复合函数进行讨论。略图如下图(左)、图(右)。


    幂函数3.jpg  幂函数4.jpg


  ②指数函数yaxa>0,a≠1),定义成为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),a>0时是严格单调增加的函数(即当x2x1时,ax2ax1,0<a<1时是严格单减函数。对任何a,图像均过点(0,1),注意yax和y=(指数函数.jpgx的图形关于y轴对称。如下图。


    指数函数2.jpg


  ③对数函数y=logaxa>0),称a为底,定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)。a>1时是严格单调增加的,0<a<1时是严格单减的。不论a为何值,对数函数的图形均过点(1,0),对数函数与指数函数互为反函数。如下图。


    对数函数.jpg


  以10为底的对数称为常用对数,简记为lgx。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数,即自然对数,记作lnx。

  ④三角函数:见下表。


    三角函数.jpg


  正弦函数、余弦函数如下图(左)、图(右)。


    正弦函数.jpg  余弦函数.jpg


  ⑤反三角函数:见下表。


    反三角函数.jpg


  双曲正、余弦如下图。


    双曲正、余弦.jpg


  ⑥双曲函数:双曲正弦二分之一.jpg(ex-e-x),双曲余弦(ex+e-x),双曲正切(ex-e-x)/(ex+e-x),双曲余切(ex+e-x)/(ex-e-x)。