几何学

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  何学汉语拼音jǐ hé xué),(英语:Geometry),简称几何数学中最古老的一门分科。是研究空间区域关系的数学分支。现代概念上的几何其抽象程度和一般化程度大幅提高,并与分析、抽象代数和拓扑学紧密结合。

  几何学相传起源于古埃及尼罗河泛滥后为修整土地而产生的测量法。泰勒斯曾利用三角形全等做间接的测量工作。中国古代有勾股测量,在《周髀算经》中记载了周公姬旦和商高关于“勾三、股四、弦五”的对话(约前1000年)。从埃及产生的几何学传到古希腊之后,逐渐发展成理论的数学。哲学家柏拉图(前429~前348)确立了几何学中定义、公设、公理、定理等概念,树立了哲学与数学中的分析法和综合法的概念。梅内克缪斯(约前340)已经有了圆锥曲线的概念。

  柏拉图学派之后,亚历山大学派逐渐繁荣起来,代表人物为欧几里得。他把到当时为止的数学知识编成13卷的《几何原本》,首次把数学知识构成一个逻辑体系。书中首先叙述了一些定义,然后提出五个公设和五个公理。其中第五公设尤为著名:若两直线与第三条直线相交,且在同一侧构成的两个同侧内角之和小于二直角,则这两条直线在向这一侧延长后必相交。从当代的观点来看,《几何原本》的公理系统是不完备的,但是它恰恰是现代几何基础论的先驱。直到19世纪末,D.希尔伯特才建立了严密的欧氏几何公理系统。

  第五公设与其余公设相比较不很直观,许多人企图从其余公设来推导它,都失败了。第五公设等价于:在平面上,过直线外一点可引一条、且只有一条直线与原直线不相交。直到19世纪,N.I.罗巴切夫斯基和波尔约各自独立地创建了一种新几何学,其中把《几何原本》中的第五公设改换成:在平面上,过直线外一点可引无数条直线与原直线不相交。这种新几何学称为双曲的非欧几何学。另外还可以把第五公设换成“在平面上,过直线外一点所引的直线都和原直线相交”,这种几何称为椭圆的非欧几何学。非欧几何学的发现是人类思想史的一大成就。

  在欧洲文艺复兴之后,代数学得到蓬勃发展,几何学也开始和代数学联系起来。R.笛卡儿和P.de费马发明了坐标法,在空间中的点和数组之间建立对应关系,把图形表述为数组所满足的方程来进行研究。这就是现在所称的解析几何学。在古希腊时期阿波罗尼奥斯(约前262~约前190)研究过的圆锥曲线被看作二次曲线论加以整理,成为解析几何的主要内容。笛卡儿和费马的坐标法促进了微积分的产生和发展,反过来微积分用于几何学,形成了微分几何学,其中L.欧拉、G.蒙日都作出了杰出的贡献。

  除了解析几何的发展以外,在文艺复兴时代在造型美术发展过程中产生的透视图法逐渐成为一个独立的分支,形成射影几何学。17世纪的G.德扎格和B.帕斯卡奠定了它的基础,到18世纪以后,J.-V.彭赛列、Z.N.M.嘉诺和J.施泰纳等完成了这门几何学。在1872年,F.克莱因提出所谓的埃朗根纲领,把几何学与群论联系起来,认为几何学是研究空间在某个变换群的作用下的不变性质,把欧氏几何、射影几何以及当时出现的种种古典几何学统一起来,促进了古典几何学的发展。按照所取的变换群的不同,分别有欧几里得几何学、仿射几何学、射影几何学和共形几何学。非欧几何学则包括在特殊的射影几何学之中。同胚变换(一一对应的连续变换)群所隶属的几何学独立发展为拓扑学。

  到18世纪,微分几何学成为数学的一个分支学科,对它作出最大贡献的是C.F.高斯。他奠定了曲面论的基础,特别是曲面由第一基本形式决定的内蕴几何。此时,非欧几何可以实现为曲面上的几何,打消了人们对于非欧几何的疑虑。将克莱因的思想用于微分几何,产生了射影微分几何、仿射微分几何和共形微分几何,代表人物有G.富比尼和W.J.E.布拉施克。

  高斯的内蕴曲面论在1854年由黎曼推广为高维的黎曼几何学,后来E.B.克里斯托费尔,G.里奇,T.列维–齐维塔系统地发展了“绝对微分法”,对切向量场和一般的张量场定义了协变微分,丰富了黎曼几何的内容。自从A.爱因斯坦将它用于广义相对论以后,黎曼几何成为微分几何的主角。经过é.嘉当等人的努力,协变微分的概念逐渐演变成现在所称的联络,用于向量丛和主丛。20世纪以来,黎曼原始的思想被发展成以曲线长度积分为基础的芬斯拉几何,目前已引起许多几何学家的注意,并用于天体物理和固态物理。

  在20世纪20年代以后,开始了大范围微分几何的研究。后来,H.霍普夫提出研究黎曼流形的曲率和它本身的拓扑结构的联系的课题。陈省身在1942年给出的高维紧致黎曼流形的高斯–博内定理的内在证明,是大范围黎曼几何发展史的里程碑,并且发展了纤维丛、示性类理论。在20世纪70年代以后,偏微分方程和非线性分析与大范围微分几何相结合,产生了几何分析,成为热门的研究课题。

  微分几何学与理论物理有密切的联系。A.爱因斯坦的广义相对论以黎曼几何为其数学基础,杨–米尔斯的规范场论与联络论相联系。阿蒂亚–辛格指标定理已广泛地用于理论物理的研究。几何学与理论物理的种种联系将继续是几何学发展的推动力。

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