几何原本

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《几何原本》拉丁文译本
《几何原本》最早的印刷本首页

  《几何原本》汉语拼音:Jihe Yuanben;希腊语:Στοιχεῖα;英语:Elements),古希腊数学著作,共13卷。简称《原本》,古希腊数学家欧几里得所著。这是一部划时代的著作,是最早用公理法建立起演绎数学体系的典范。古希腊数学的基本精神,是从少数的几个原始假定(定义、公设、公理)出发,通过逻辑推理,得到一系列命题。这种精神,充分体现在欧几里得的《几何原本》中。公元前7世纪以来,希腊几何学已积累了相当丰富的知识。在欧几里得以前,已有希波克拉底(前5世纪下半叶)、修迪奥斯(前4世纪)等学者做过综合整理工作,试图将这些零散的材料组织在严密的逻辑系统之中,但都没有成功。当欧几里得集前人之大成的《原本》出现的时候,这些工作都湮没无闻了。

  《几何原本》是现代数学的基础,在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它翻译成阿拉伯文,然后再二手翻译成拉丁文。最先的印制本出现于1482年。希腊语版本仍然存在于各地,如梵蒂冈教廷图书馆或牛津大学的博德利图书馆。遗憾的是这些现存手抄本品质参差而不完整。

  中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦和中国学者徐光启根据德国神父克里斯托弗·克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》(15卷)合译的,定名为《几何原本》,几何的中文名称就是由此而得来的。他们只翻译了前6卷,后9卷由英国伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出。

版本和流传

  在印刷本出现以前,《原本》的各种文字的手抄本已流传了1,700多年,以后又以印刷本的形式出了1,000多版。从来没有一本科学书籍像《原本》那样长期成为广大学子传诵的读物。古希腊的海伦(约公元62年)、帕普斯、辛普利休斯(6世纪前半叶)等人都作过注释。亚历山大的塞翁(约390年)提出一个修订本,对正文作了校勘和补充。这个本子成为后来所有流行的希腊文本和译本的蓝本,一直到19世纪初,才在梵蒂冈发现早于塞翁的希腊文手抄本。

  中世纪时有三种阿拉伯文译本,译者分别是赫贾季(9世纪,巴格达)、伊沙格(约10世纪)和纳西尔丁·图西。第二种版本后来为塔比·伊本·库拉作了进一步修订,一般称为伊沙格–塔比本。现存的最早拉丁文译本是1120年左右阿德拉德从阿拉伯文本译过来的,后来杰拉德赞贝蒂(约生于1473)第一次直接从塞翁的希腊文本译成拉丁文,1505年在威尼斯出版。现在流传下来的欧几里得著作都总结在丹麦数学家J.L.海贝格H.门格校订注释的权威版本《欧几里得全集》(1883~1916)之中,这是希腊文与拉丁文对照本。最早的印刷本出现于1482年,最早的完整英译本(1570)的译者是H.比林斯利。最流行的标准英译本是T.L.希思译注的《欧几里得几何原本13卷》初版(1908)。

  中国最早的译本是1607年利玛窦和徐光启根据德国人C.克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》(15卷,1574)合译的,定名为《几何原本》,中文几何的名称即由此而得来。

  欧几里得的原著只有13卷,14、15卷是后人添加的。一般认为第14卷出自许普西克勒斯之手,而15卷是6世纪时达马斯基乌斯所著。利玛窦、徐光启只译了前6卷,整整两个半世纪以后(1857),英国人伟烈亚力和李善兰才将后9卷译出,但所根据的已不是克拉维乌斯的拉丁文本而是另一种英文版本。

主要内容

  第1卷阐述由直线和曲线构成的平面图形;第2卷讨论代数恒等式,第3~4卷探讨圆的几何学;第5~6卷阐明比例论及其在平面图形上的应用;第7~9卷是有关数的理论;第10卷提出无公度的几何量;第11~13卷讨论立体几何。第1卷首先给出 23个定义。如“点是没有部分的”,“线有长无宽”,等等。还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、圆、直径、等腰三角形、等边三角形、菱形、平行线等定义。接着是5个公设,前4个很简单:①任两点可联一线;②直线可任意延长;③以任何中心、任何半径可作一圆;④凡直角都相等。第5个就是有名的欧几里得第五公设。这一公设比其他4个复杂得多,而且并不那么显而易见,因此引起长达2,000多年的争论,最后导致非欧几里得几何学的产生。

  公设之后是5个公理,如“等量加等量,其和相等”,“全体大于部分”等。近代数学不区分公设与公理,凡是基本假定都称公理。《原本》后面各卷不再列出其他公理。这一卷在公理之后给出48个命题,包括三角形的角与边、垂线、平行线、平行四边形等命题。如“两三角形两边与夹角对应相等,则这两三角形相等”。这里相等指全等,但在第35命题以后,相等又有另外的含义,它可以指面积相等。第47命题就是有名的勾股定理:“在直角三角形斜边上的正方形(以斜边为边的正方形)等于直角边上的两个正方形。”

  第2卷包括14个命题,用几何的语言叙述代数的恒等式。如(a+b)2=a2+2ab+b2表述为:“将一线段任意分为两部分,在整个线段上的正方形等于在部分线段上的两个正方形加上以这两个部分线段为边的矩形的二倍。”第11命题是分线段为中末比,第12、13命题相当于余弦定理。

  第3卷有37个命题,讨论圆、弦、切线、圆周角、内接四边形及与圆有关的图形。

  第4卷有16个命题,包括圆内接与外切三角形、正方形的研究,圆内接正多边形(5边、6边、15边)的作图。

  第5卷是比例论。后世的评论家认为这是《原本》的最高成就。毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论,不过只适用于可公度量。如果a,b两个量可公度,那么a∶b是一个数(有理数),但若a,b不可通约,希腊人(包括后来的欧几里得)就根本不承认a∶b是一个数。为了摆脱这一困境,欧多克索斯用公理法重新建立了比例论,使它适用于一切可公度或不可通约的量。《原本》第5卷主要取材于欧多克索斯的工作,给出18个命题,如:“设a∶b=c∶d,则(a+b)∶b=(c+d)∶d”;“设a∶b=c∶d,且a最大,d最小,则a+d>b+c”等。第6卷把第5卷已建立的理论用到平面图形上去,共33个命题。

  第7、8、9三卷是数论。第7卷先给出约数倍数分数偶数奇数素数互素平方数立方数完全数等22个定义,接着给出39个命题。第1命题:“两不等数,辗转相减,余一而止,则为两无等数之数(按李善兰译本,两无等数就是互素)。”这是欧几里得辗转相除法的出处。还有求最大公约数、最小公倍数的方法。第8卷讲数的连比例。第9卷第20命题:“任置若干数根(素数),数根必不尽于此”,就是数论中的欧几里得定理:素数的个数无穷多。

  第10卷是篇幅最大的一卷,包含16个定义和115个命题,主要讨论无理量(与给定的量不可通约的量)。第1命题:“给定大小两个量,从大量中减去它的一大半,再从剩下的量中减去它的一大半,这样重复下去,可使所余的量小于所给的小量。”这命题相当重要,它是极限论的雏形,也是“穷竭法”的理论基础,与后面各卷有密切关系。

  第11卷讨论空间的直线与平面的各种关系(相交、垂直、平行等)以及平行六面体的体积等问题。

  第12卷利用穷竭法证明“圆面积的比等于直径平方的比”,“球体积的比等于直径立方的比”以及“锥体体积等于同底等高的柱体的1/3”等。

  第13卷着重研究5种正多面体。

  用现代的眼光看,《几何原本》还有不少缺点。主要是公理系统不完备,例如没有运动、连续性、顺序等公理,因此许多证明不得不借助于直观,也有的公理可以从别的公理推出(如直角必相等)。又点、线、面等定义本身是含混不清的,而且后面从来没有用过,完全可以删去。尽管如此,《几何原本》开创了数学公理化的正确道路,对整个数学发展的影响,超过了历史上任何其他著作。