公理集合论

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  公理集合论汉语拼音:Gongli Jihelun;英语:Axiomatic Set Theory),数理逻辑的主要分支之一。1908年,E.F.F.策梅洛首开先河,提出了第一个集合论公理系统,旨在克服集合论中出现的悖论。20世纪20年代,A.A.弗伦克尔A.T.斯科朗对此予以改进和补充,从而得到常用的策梅洛–弗伦克尔公理系统,简记为ZF。ZF是一个形式系统,建立在有等词和关系符号“∈”(与朴素集合论中的属于关系相对应)的一阶谓词演算之上。它的非逻辑公理有:外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离(子集)公理模式、替换公理模式、正则(基础)公理。如果另加选择公理,则所得到的公理系统简记为ZFC。

  ZF能避免已知的集合论悖论,并在数学基础的研究中提供了一种较为方便的语言工具。

  在ZF中,诸如有序对、关系、等价关系、线序、良序、函数自然数有理数实数及其运算、顺序等都可以定义。也就是说,几乎所有常见的数学概念都能在ZF中表达。数学定理也大都可以在ZFC系统内得到形式证明。

  在集合论中,自然数是如下定义的。如果一集合x的元素的元素也都还是x的元素,则称x为传递集。一个集合x是自然数:如果x是传递集,x的全体元素在∈关系下良序,而且x的每一非空子集对序∈而言有最大元。这样可以把自然数变成在ZF内可以定义的一种性质,如把0定义为空集,1定义为0∪{0},2定义为1∪{1}等,则0,1,2,…都是自然数,而且只有这些是自然数。

  如把自然数概念推广,就可以得到序数基数这两种超穷数概念。如果x是传递集并且在关系∈下是良序,就称x是序数。自然数都是序数,称为有穷序数;如果α是序数,则S(α)=α∪{α}也是序数,称为α的后继;不是后继的序数称为极限序数,例如0,ω(其定义见下)等。全体序数组成的类不再是集合。

  根据超穷递归定理可以定义序数上的加法、乘法和幂运算。

  在集合论中,序数的运算反映了良序集的叠加。如果序数α不能与比它小的序数建立一一对应,则称α为初始序数。每个有穷序数都是初始序数,现代通常以ω记第一个无穷初始序数,其后的初始序数依次记为ω12,…,ωω,…。每个良序集都能与唯一的一个初始序数建立一一对应。因此,可以把初始序数定义为良序集的基数。在基数上也可以定义加法、乘法和幂运算,它们分别反映了并集、卡氏积、映射集的基数。基数运算和序数运算当限制在自然数上时是完全相同的,但在超穷部分则完全不一样。作为序数运算ω+ω>ω,但作为基数运算则ω+ω=ω。集合论在研究基数时,通常都假定选择公理(AC)成立。

  由于几乎全部数学都可归约为集合论,所以ZF系统的一致性一直是集合论中至关重要的问题。但根据K.哥德尔不完全性定理,却无法在ZF系统内证明自身的一致性。此外,一些重要的命题,如连续统假设也是在ZF中不可判定的。寻找这些不可判定问题并证明其不可判定性和扩充ZF,以期在扩充后的系统中判定这些命题,就成了公理集合论研究的两个出发点。1963年,美国学者P.J.科恩创立力迫法,从而证明了集合论中的一大批独立性问题。此后的20多年中,集合论研究者一方面推广和改进科恩的力迫法,如提出迭代力迫、真力迫等新概念和新方法;另一方面则将这些方法应用于具体的数学领域。与此同时,对大基数的研究也十分引人瞩目。因为在扩充ZFC系统的各种尝试中,大基数公理多少还算直观。引入大基数之后,需要讨论各种一致性和独立性问题,而且要构造各式各样的模型,因而也就离不开力迫法。由于很多大基数,可以看作是某些组合论性质的推广,因此大基数的研究也推动了无穷组合论的研究。此外,随着新概念、新方法的引入,停滞了几十年的描述集合论也重新活跃起来,使一大批长期悬置的问题得到解决或有了某种新的进展。

  在公理集合论的研究中,大量的工作是关于集合论模型的,此外,还继续此前朴素集合论对无穷组合问题的研究即组合集合论的研究。其中的一些问题是来源于柯尼希树引理和拉姆齐定理的推广。在公理集合论之外,集合论的另一分支则为描述集合论(又称解析集合论),主要是研究划分层次以后的实数子集的结构性质问题。因而,这一部分与分析学实数理论递归论的关系较为密切。即使限于上述两个分支的研究,也有许多问题要用到ZF(或ZFC)以外的附加假设才能判定。这里,常用的附加假设有:可构成公理、各种大基数公理以及与AC不协调的决定性公理等。

  哥德尔在1938年提出了可构成公理,并在60年代末和70年代得到重视和发展。至于大基数的研究由来已久,但其作为附加公理也是在60年代以后。几乎每一种大基数都是ω的某种性质向不可数基数的推广。可构成性、大基数和力迫法已成为公理化集合论的三大主流,同时它们又是三种研究工具。随着无穷博弈的诞生和博弈论在数学各分支的渗透,以及博弈论与逻辑的关系日益密切,决定性公理也愈来愈受重视。