偏微分方程

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  偏微分方程(partial differential equation),含有未知函数及其各阶偏导数的方程。如:

    ut-a2(uxx+uyy+uzz)=0 (1)

  其中u=u(x,y,z,t)为未知函数,x,y,z,t是自变量。


  18世纪,数学家们已开始用偏微分方程来研究问题。方程(1)便是用来描述热的传导规律的。1746年,J.LeR.达朗贝尔给出了一维波动方程(两端固定的弦的振动问题):

    偏微分方程1.jpg (2)

  由于弦的两端固定,故在x=0和x=l处(l为弦的长度)应满足边界条件:

    u(0,t)=0 u(l,t)=0 t≥0 (3)

  又当t=0时的状态,即初始条件是

    u(0,x)=φ(x) ut(0,x)=ψ(x) (4)

  一般,每个偏微分方程有许多解,且含有任意函数,一阶方程的解含有一个任意函数,二阶方程的解含有两个任意函数,例如(2)有解u=f(x-at)+g(x+at),其中f(x)、g(η)是二次可微的函数。通常,更注重求满足某些附加条件的特解:未知函数在初始时刻所满足的条件叫初始条件,如(4),在所给区域边界上所满足的条件叫边界条件,如(3),初始条件和边界条件统称定解条件,这都要由实际问题来确定。求方程满足初始条件的定解问题叫初值问题或柯西问题,只含边界条件的定解问题叫边值问题,既有初始条件,又有边界条件的问题称为初边值问题或混合问题。如果某个解,当定解条件中的量变化不大时,解的变化也不大,就称解连续依赖于定解条件。若定解问题的解存在、唯一且连续依赖于定解条件,就称定解问题为适定的或称问题的提法是正确的。