代数数论

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  代数数论汉语拼音:Daishu Shulun;英语:Algebraic Number Theory),数论的重要分支。它以代数整数,或者代数数域为研究对象,不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。

  代数数论主要起源于对费马大定理的研究。德国数学家E.E.库默尔在试图证明费马大定理时,利用p次本原单位根ζ=e2πi/p,把方程

xpypzp

写成

xp=(zy)(zζy)…(zζp-1y)

  如果在分圆域Q(ζ)中,代数整数也像普通整数一样,可以唯一地分解成素数(即不可约数,或不可分解数)的乘积,就可以证明费马大定理。这是库默尔原来的想法。但在分圆域中,代数整数分解成不可分解数的乘积一般不具有唯一性。这导致库默尔引入“理想数”的概念。他随之证明了每个“理想数”可以唯一地分解成“素因子”的乘积,从而建立了分圆域上的数论。库默尔的“理想数”是环论中理想这一概念的起源,他那里的“素因子”就是现今人们所说的“素理想”(一个交换环中的理想P称为素理想,如果环中二元素之积属于P蕴涵着其中一个元素属于P。素理想是有理素数的合理推广,这因为在有理整数环Z中,任一理想都是某个整数a的所有倍数构成的集合,此理想是素理想当且仅当a是素数)。J.W.R.戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域,证明了任意代数整数环中的任一理想可以唯一地分解为素理想的乘积。戴德金的这个结果是算术基本定理(即任一大于1的正整数可以唯一地分解为素数的乘积)的推广,为代数数论奠定了基础。代数数论的另一个源头是C.F.高斯对于有理整系数的二次型的研究。

  由上面的叙述可以看出,代数数域与有理数域有很大的差别。代数数论的课题就是研究这些差别所引起的新的概念及其性质,主要包括代数数域的整基、判别式、基本单位、理想类群、类数、理想的素理想乘积分解以及研究代数数域的算术性质与代数性质之间的联系。

  对于一般的代数数域而言,没有统一的算法用以求其整基。求代数数域的基本单位是非常困难的。

  关于理想类数,有所谓的“类数公式”,它将代数数域的基本单位、理想类数、判别式以及戴德金ζ函数在点1处的留数等联系在一起。这导致对于理想类数与基本单位系的计算具有相同的难度。

  代数整数环中理想的分解(为素理想的乘积)是代数数论的重要问题。特别是在代数数域扩张时,子域中的素理想在扩域中的分解最为基本。这方面有D.希尔伯特创立的一套理论。设F,K是代数数域,,如果对于任一α∈K,系数在F中的以α为零点的次数最低的多项式的全部根都属于K,则称K为F的(有限)伽罗瓦扩张。这等价于K的保持F中每个元素都不动的自同构的个数等于K作为F上的线性空间的维数。这些自同构在映射的复合(运算)下构成一个群,称为K在F上的伽罗瓦群,记为Gal(K/F)。如果Gal(K/F)是交换群,则称K为F的(有限)阿贝尔扩张。希尔伯特将代数数域的伽罗瓦扩张的伽罗瓦群的代数性质和素理想在扩张下的分解密切地结合在一起。

  代数数论的进一步发展是所谓的“类域论”。此理论建立于20世纪30年代,是研究代数数论的基本工具之一。类域论的主要内容是:①用整体域(代数数域和有限域上的函数域)K自身的结构去刻画它上面的所有阿贝尔扩张;②建立由K本身决定的某些群与这些阿贝尔扩张在K上的伽罗瓦群之间的自然的一一对应(称为“互反映射”)。为此,人们首先对于K(关于某个素除子)的完备化解决这两个问题,形成所谓“局部类域论”。进而(通过广义理想类群或伊代尔群)将局部类域论的结果黏合起来,得到“整体类域论”。如果K是有理数域或虚二次域,则K上的最大阿贝尔扩张等于将最简单的周期函数(指数函数和外尔斯特拉斯函数)在周期的所有有限阶分点处的值添加到K上所得到的扩域。但是对于其他的代数数域,人们并不知道具有类似性质的特殊函数是否存在[这个问题被称为“克罗内克(Kronecker)青春之梦”]。

  代数数论的研究需要代数、分析、几何等基础数学的众多学科的知识。它与模形式理论、表示论、椭圆曲线的算术理论、算术代数几何、 代数K理论、刚性几何、p进分析等交织在一起,形成长期以来十分活跃的数学分支。