代数学

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  代数学汉语拼音:Daishuxue;英语:Algebra),数学中研究各种代数结构(有代数运算的集合)的(运算)性质的分支学科。初等代数一般在中学时讲授,介绍代数的基本思想:研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么,以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。

  代数的研究对象不仅是数字,而是各种抽象化的结构。例如整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结构。在其中我们只关心各种关系及其性质,而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。

  代数学是在求解具体问题中诞生的。这些问题,诸如对任意多项式求根、对任意线性方程组求解等具有以下共同特征:①这些问题不是单一问题,而是一类性质相同的问题。②对于同类问题中的任一个问题,都能用通用的解法来求解。③求解时要求出全部可能的解。这些特征决定了求解代数问题时仅能借助于数或代数式的运算性质,如等量加(乘)等量仍相等、移项法则等,因此运算性质在求解代数问题时至关重要。初等代数教科书都体现出代数学是研究代数结构的运算性质,并用以解决各种问题。例如在代数课程中,首先要学整数的加减法,依次是乘除法,再后是分数的加减乘除、指数式及根式的运算以及各种代数式的运算,并靠这些运算解决一些实际问题。高等代数,要研究一般多项式求根和一般线性方程组求解的理论。除了数字运算外,运算对象也在不断扩充,加入了几何向量、多项式、n元向量、矩阵及一般线性空间中的向量和线性变换等。高等代数就是介绍这些对象的运算性质并用以解决各种问题的。

抽象代数建立

  由于以下三方面的发展,代数学的中心问题由高次多项式的求根问题转向研究各种代数结构,代数学的发展进入抽象代数学的阶段。

  ①在求出三次、四次多项式方程根的一般公式后,一个自然的问题是对于任意n次多项式方程

    anxn+an-1xn-1+…+a0=0

  要找出由系数经加减乘除及开方所构成的公式来表示它的根(代数学上称为“用根式求解”)。这成为代数学上约3个世纪的首要问题。1824~1826年间,N.H.阿贝尔证明了高于四次的多项式方程一般不能用根式求解。1832年E.伽罗瓦对这个问题给出更确切的解答(见伽罗瓦理论)。他引入了置换群、子群、正规子群、数域的扩域及群的同构等概念。1870年C.若尔当写出了置换群的专著,他还首先引入了无限群的概念。后来M.S.李、F.克莱因和H.庞加莱在微分方程、几何学(见埃朗根纲领)和自守函数的研究中,都借助于无限变换群。1854年,A.凯莱提出了有限抽象群的概念,直到19世纪80年代才创立了一般的(有限及无限)抽象群。从有限置换群的产生到抽象群定义的形成,这一发展过程是最终引向建立抽象代数学的第一个根源。

  ②在数论方面,18、19世纪之交,高斯研究过整系数二次型ax2+2bxy+cy2在一定的合成运算下成为一个交换群。从高斯研究整系数或有理系数的复数a+bi开始,德国数学家在代数数论的研究中引入了域、理想、模等概念,它们在数论发展中起着重要作用。

  ③线性代数和一些特殊的代数结构方面的研究,对建立抽象代数学起到了推动作用。19世纪中叶对复数的研究,启发了各种抽象的代数结构的引入,如G.布尔的逻辑代数或布尔代数的建立,W.R.哈密顿的四元数代数的提出,H.G.格拉斯曼的外代数以及A.凯莱的矩阵代数和八元数代数的建立。

  上述发展中的共同特点是:很多具体的代数结构开始时均各自孤立地发展,并应用到数学、力学、物理各方面。进而数学家认识到(大致在19世纪后期),对许多有联系的代数结构,抽出其共同特点进行综合研究,可提高效率。如置换群、高斯研究过的二次型的群、数域、多项式环或矩阵代数中的加法群以及变换群等,就可在下述形式下进行探讨。它们都是由一些元素或对象组成的集合,对该集合中任两个元素可由运算法则决定出集合中第三个元素。该运算法则满足结合律,且有单位元,有逆运算。这就是抽象群的概念。用这种观点去处理其他代数结构就产生出其他抽象的代数结构。这种观点虽然在D.希尔伯特等的数学公理化以前就已经形成,但数学公理化还是大大促进了人们对代数抽象方法的认同。在对前面三个发展方面的综合研究中,20世纪初德国的希尔伯特、E.施泰尼茨、E.阿廷、E.诺特及他们的同事、学生们的贡献巨大。代数学及代数运算的一般理论的近代观点得到确立,而B.L.范·德·瓦尔登的《近世代数学》(1930)综合了当时抽象代数学各方面的成果,对于抽象代数的传播与发展起了巨大推动作用。

  因此,抽象代数学是以研究数字、文字和一般元素的代数运算的规律,以及由这些运算服从的公理而定义的各种代数结构的性质为中心的代数学,其研究的两个特点是:①常常把与某问题有关的对象(元素)组织成(定义成)一个可运算的代数结构,然后研究它的性质再用以解决具体问题。②在同构下考察运算性质,即真正注重的不是承载代数运算的集合,而是代数运算本身(的性质)。实际上,抽象代数中仅研究少数类型的代数结构,它们是在代数学发展中自然出现的最基本的几种。

  群是最重要且最基本的代数结构。它有一个代数运算。群的推广有半群、拟群和么拟群。见群论

  环和域是具有两个代数运算的重要的代数结构。两个运算通常称为加法和乘法。整数环、多项式环和矩阵代数是环的重要例子。有理数域、实数域、复数域、有理分式域、有限域是域的重要例子。见环论、域论。

  格是具有两个代数运算的另一个重要的代数结构。格的典型例子是一个给定集合中的子集合的系统,以子集合的交和并作为其运算。另一个例子是正整数的集合,运算是取最小公倍数和取最大公约数。

  域上线性空间也是代数结构。它有加法运算,而域中每个给定的数与空间中所有向量的数量乘法作成一个一元运算,因而有很多一元运算。

  模是把线性空间的基域换成环得到的更广泛的概念。线性空间、模及其中的线性变换以及与它们有关的问题构成了代数学中线性代数部分。

  环A若又是某交换环K上的模,则称A为K上代数(结合代数)。过去把这种代数称为超复数系。

学科发展及对其他学科的影响

  抽象代数的方法和结果应用到与它相关的数学领域中,便形成了新的数学领域,如代数数论、代数几何学、拓扑代数、李群和李代数,以及代数拓扑学、泛函分析等。因此,抽象代数对全部现代数学的发展有显著的相互影响,并对其他科学领域诸如理论物理、结晶学等也有重要影响。

  20世纪中后期,模论得到进一步发展。代数学的一些新领域相继建立起来,如泛代数、同调代数学、范畴理论等。它们都是代数学中起统一作用的概念,重点不是研究单个代数结构中的运算性质,而是各自从某方面同时研究许多代数结构甚至许多其他数学结构。代数学(包括泛代数和范畴理论这样的新领域)的一些成果和方法直接应用到电子技术、信息技术和电子计算机技术中,产生了诸如代数编码学、代数密码学、语言代数学和代数语义学、代数自动机理论、系统学的代数理论等新的应用代数学领域。代数学又是离散数学的重要组成部分,并对组合数学的发展起着重要作用,产生了代数组合学分支学科。新应用也促进代数学中的一些代数结构,如半群、布尔代数、有限域等的发展。

中国的贡献

  中国古代,在初等代数方面有光辉的成就(见中国数学史)。《九章算术》和刘徽的《九章算术注》是中国古代数学的代表作。前者成书不迟于公元1世纪,书中的解方程组的方法及正负数加减法,当时在世界上遥遥领先。后者成书于3世纪,它引进了十进小数的方法,解决了求无理根的问题。到宋、元时期,中国古代数学发展达到顶峰,代表性成果有秦九韶的高次方程的数值解,它根据应用问题的条件立方程,并引进天元(未知数)的概念,称为天元术和四元术;与之相应出现的多项式的表达、运算法则及消元方法接近于近世代数;此外,还有增乘开方法和二项式展开系数表等。

  中国古代代数学方面的工作与实际应用问题密切联系,着重数值计算。而西方则着重研究方程及根的性质,风格不同。中国古代虽已用天、地、人、物表示未知数,但没有发展成为文字的代数学。明代以后数学发展逐渐衰落。

  中国近代首先在抽象代数方面工作的是曾烔之。但代数学真正在中国发展始自华罗庚。1938年,他领导的抽象代数讨论班在有限群方面取得成果。20世纪40~50年代,他在体论、典型群、矩阵几何方面进行系统而深入地研究,并有重要贡献。他的学生和追随者也得出许多有意义的结果。他们的方法在国际上被称为中国学者的矩阵方法。另外,华罗庚在多元复变函数方面的重要贡献与群表示论有密切关系。中国数学家周炜良在代数几何方面有重要贡献(见代数几何学)。中国代数学家还在群及表示论、半群、李群和李代数、环论和代数理论、代数数论及代数组合论方面取得很多有意义的重要结果。 

分类

  • 初等代数:学习以位置标志符(place holders)标记常数和变量的符号,与掌控包含这些符号的表示式及方程式的法则,来记录实数的运算性质。(通常也会涉及到中等代数和大学代数的部分范围。)
  • 抽象代数:讨论代数结构的性质,例如群、环、域等。这些代数结构是在集合上定义运算而来,而集合上的运算则适合某些公理。
  • 线性代数:专门讨论矢量空间,包括矩阵的理论。
  • 泛代数, 讨论所有代数结构的共有性质。
  • 计算代数:讨论在电脑上进行数学的符号运算的算法。