二次型

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  二次型汉语拼音:Er ci xin;汉语拼音:quadratic form),线性代数的主要内容之一。起源于解析几何二次曲线二次曲面标准方程的研究。设aij取自数域F且aij=a ji(i,j=1,2,…,n),则F上x1,…,xn的二次齐式f(x1,…,xn)=∑aijxiyj(i=1~n,j=1~n),称为F上n元二次型,简记为 f,它有矩阵表示f(x1…xn)=(x1…xn)A(x1…xn )′。A=(aij)n=A′由f唯一确定,称为f的矩阵;A的秩称为f的秩。一个只含平方项的二次型称为标准二次型。设P是F上的可逆矩阵,f经变量的可逆代换(x1…xn)=(y1…yn)P′得到的二次型是g(y1…yn),则称g与f等价。每个二次型等价于一个标准二次型。秩为r的复二次型等价于y1^2+……y(p)^2,从而互不等价的n元复二次型共有n+1类。每个秩r的实二次型有唯一的标准形y1^2……+ y(p)^2—……—y(r)^2,从而互不等价的n元实二次型共有(n+1)(n+2)类。与y1+…+yn等价的实二次型称为正定二次型,十分有用。二次型理论在几何、物理等学科有广泛应用。通过坐标的正交变换所得标准形称为主轴形式,它是解析几何问题的自然推广。