二次剩余

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  二次剩余汉语拼音:Er ci sheng yu;英语:quadratic residue),数论基本概念之一。若a、m的最大公约数为1〔记为(a,m)=1〕,m整除(x-a)〔记为x2≡ a(mod m)〕有解,则称a为模m的二次剩余(或平方剩余); 否则,称a为模m二次非剩余(或平方非剩余)。解一般二次同余式ax2+bx+c≡0(mod m)的问题可归结为解x2≡n(mod m)问题(见同余)。欧拉给出了判别条件:若p是奇素数,(a,p)=1,则a是模p的二次剩余的充分必要条件为a^[(p-1)/2]≡1(mod p );a是模p的二次非剩余的充分必要条件为a^[(p-1)/2]≡-1(modp)。称{k|0<k≤m,(k,m)=1}为m的 简化剩余系。显然当m是奇素数p时,其简化剩余系令p-1个数 。若p是奇素数,(见图片),称为二次互反定律。它是初等数论中非常重要的结果,不仅可用来判断二次同余式是否有解,还有很多用途。C.F.高斯称它为算术中的宝石,他一人先后给出多个证明。