中国数学史

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  中国数学史汉语拼音:Zhongguo Shuxueshi;英语:History of Mathematics in China),数学中华民族史上的起源与发展进程。数学是中国古代最为发达的基础科学学科之一,通常称为算术,即“算数之术”。陈子说:“算数之术,是用智矣。”(《周髀算经》卷上)

  数学著作大多名之曰“某某算术”。唐初后,为了表示尊崇数学,才改称“某某算经”。因此,中国古代的术语“算术”相当于英文的mathematics,而不是arithmetic。它包含今天数学教科书中算术、代数、几何、三角等方面的内容。后来,算术又称为算学、算法。

  开始使用“数学”,不过,其含义除了现今的数学外,有时还含有“象数学”的内容。此后,算学、数学并用。1939年6月,中国数学名词审查委员会确定使用“数学”而废止“算学”。从公元前2~前3世纪至公元14世纪初,长达一千六七百年,中国传统数学虽有高潮、低潮,却一直走在世界的前列。中国传统数学可以分成远古至春秋的萌芽,战国秦汉框架的确立,三国至唐初理论的奠基,唐中叶至元中叶的高潮,元中叶至明代的衰落,明末至清末中西数学的会通几个阶段。

传统数学的萌芽(远古至春秋)

  中华民族的先民在同自然界的接触中积累了许多数和形的知识,逐步认识了数和形的概念。出土的新石器时代仰韶、裴李岗、半坡、河姆渡等文化的陶器上有圆形和其他规则的几何图形。当时,人们还创造了画圆的工具“规”、画方和测望的工具“矩”。规、矩创造于什么时候,已不可考。汉武梁祠壁画有两幅伏羲手执矩,女娲手执规之图。又有说倕为规、矩的(《尸子》)。相传大禹治水时,“左准绳,右规矩”(《史记》)。没有规矩,不能成方圆。“规矩”在中华文明中早已不只是表示画圆、画方的工具,而且成为道德规范的术语。远古时人们用结绳、在木片上刻痕记数,“上古结绳而治,后世圣人易之以书契。”(《周易·系辞》)新石器时代半坡、二里头等遗址的陶器上已有若干数字符号。相传黄帝的臣子隶首作数(《世本》)。夏、商、西周三代的记数符号逐渐规范。安阳出土的公元前14~前11世纪的甲骨文数字已采用十进制,并有位值制萌芽。《老子》说:“善数不用筹策。”说明最晚在春秋时代,人们已能熟练使用算筹这种当时世界上最优越的计算工具,应用十进位值制这种最先进的记数法。

  算筹和位值制奠定了中国数学长于计算的基础。西周初年(公元前11世纪),周公姬旦在听了商高用矩测天量地的方法以及简单的勾股圆方知识后,发出“大哉言数”的感叹。当时,数学成为贵族子弟教育中的“六艺”之一。最迟到春秋时期,人们已谙熟九九乘法表、整数四则运算,并使用了分数及其运算。然而,没有一部这一时代的数学著作流传到后世。

传统数学框架的确立(战国秦汉)

  春秋以后,到战国时期生产关系发生极大变革,生产力得到长足进步,思想界互相辩诘,百家争鸣,人们的数学知识也取得更大的进步。经过长期积累,最晚到战国时期,形成了“九数”,即数学的9个分支:方田、粟米、差分(后称衰分)、少广、商功、均输、盈不足、方程、旁要(后扩充为勾股)。它们构筑了中国传统数学的基本框架。陈子(约公元前5世纪)提出数学方法(术)具有“言约而用博”,“问一类而以万事达”的特点;学习数学要“通类”,作到“类以合类”(《周髀算经》卷上)。这既是当时存在的数学的总结,也规范了后来中国传统数学著作的特点与风格。

  《算数书》、《周髀算经》和《九章算术》等著作的主要部分应该是战国时期完善或创造的。《算数书》的一部分术文和《九章算术》的大部分术文具有抽象、严谨、普适、简洁的特点。这是当时数学理论贡献的一个方面。理论贡献的另一方面是《墨经》中提出了圆、方、平、直、端(点)、次(相切)等若干数学概念的定义,墨家名家还有无穷小的概念。然而《墨经》的数学理论研究倾向在中央集权的秦汉时期没有得到发扬。西汉张苍耿寿昌在荀派儒学影响下最后编定《九章算术》。其中分数四则运算法则、比例(今有术)与比例分配(衰分术与均输术)算法、盈不足术、若干面积与体积公式(以上亦见之于《算数书》)、勾股定理与解勾股形方法和测望问题、开平方法和开立方法、线性方程组解法(方程术)、正负数加减法则等内容,在世界数学史上占有极其重要的地位,有许多成就超前其他文化传统几百年甚至上千年。《九章算术》等著作具有以术文为中心、术文大都是机械化的运算程序、术文统率例题、数学理论密切联系实际等特点,对此后2,000余年间中国和东方数学的影响极大。《算数书》、《九章算术》的编定,标志着在古希腊之后,中国成为世界数学研究的重心。然而这些著作都没有推理和证明,是其严重缺点。

理论基础的奠基(三国至唐初)

  东汉末年到时期,庄园农奴制和门阀士族占据了经济政治舞台的中心;儒家在思想界的统治地位被削弱,谶纬迷信与繁琐的经学退出了历史舞台,代之以谈“三玄”(《周易》、《老子》、《庄子》)为中心、以析理为主要方法的辩难之风。受此影响,赵爽撰《周髀算经注》,以出入相补原理证明了此前的勾股知识;公元263年,魏刘徽撰《九章算术注》,总结、发展了《九章算术》编纂时代就使用的出入相补原理、截面积原理、齐同原理与率的理论,“析理以辞,解体用图”,以演绎逻辑为主要方法全面证明了《九章算术》的公式、算法,奠定了中国传统数学的理论基础。他完善了重差术;在数学证明中引入了极限思想和无穷小分割方法,用以证明了《九章算术》的圆面积公式,以及成为其多面体体积理论基础的刘徽原理;还首创了求圆周率的正确方法和若干新方法,纠正了《九章算术》的许多失误。刘徽的数学知识形成了一个“约而能周,通而不黩”的理论体系。

  南朝祖冲之所著《缀术》,是一部水平比刘徽的《九章算术注》更高的著作,可惜隋唐算学馆学官(相当于今重点大学数学系教授)“莫能究其深奥,是故废而不理”(《隋书·律历志》),遂失传。现在人们只知道他在计算圆周率及与其子祖暅之解决球体积方面的贡献。此外,这一时期,还编纂了《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》(已佚)、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算经》等著作,开辟了同余方程解法、百鸡术等新的研究方向,在等差级数、三次方程解法等方面也有新的进展。隋唐国子监设算学馆,李淳风等整理《周髀算经》、《九章算术》等十部算经,作为算学馆的教材,是中国传统数学奠基时期的总结,清中叶后称为《算经十书》。

筹算数学的高潮(唐中叶至元中叶)

  经过盛唐生产力的大发展,唐中叶之后,生产关系和社会各方面产生了新的变革。到,土地由国有为主变为私有为主,佃农取代了魏唐农奴身份的部曲、徒附。农业、手工业、商业相当繁荣,思想统治也相对宽松,科学技术的发展进入中世纪的黄金时代。特别是造纸业与印刷技术的发达,使数学著作的传播更加方便。1084年,北宋秘书省刊刻了汉唐的九部算经(唐李淳风等整理的十部算经,《缀术》、《夏侯阳算经》已佚,前者付之阙如。后者以唐中叶的一部实用算书充任),是世界上首次印刷数学著作。数学迎来了筹算数学的高潮。这个高潮体现在两个方面。一是适应商业交换发展的需要,改进筹算的乘除捷算法,并编成歌诀。赝本《夏侯阳算经》以及唐末、五代、宋初的许多数学著作,南宋杨辉算法》(1274~1275),朱世杰算学启蒙》(1299)等作出重大贡献。口念歌诀很快,它赖以产生、成长的算筹无法与之适应,最迟在南宋,珠算盘应运而生,筹算歌诀自然成为珠算口诀。二是在高深的数学领域,如高次方程解法(增乘开方法)、一次同余方程组解法(大衍总数术)、列方程(天元术)和联立高次方程组解法(四元术)、高阶等差级数求和(垛积术)和招差法等方面取得超前其他文化传统几个世纪的重大成就。北宋贾宪撰《黄帝九章算经细草》(约1030),进一步抽象《九章算术》的算法,创造贾宪三角和增乘开方法,奠定了宋元数学高潮的基础。南宋秦九韶撰《数书九章》(1247)、元李冶撰《测圆海镜》(1248)、朱世杰撰《四元玉鉴》(1303)等分别是提出这些成就的重要著作。

传统数学的衰落与珠算的普及(元中叶至明末)

  朱世杰之后,元朝未出现高深的数学著作。明朝步入封建社会的后期,虽然农、工、商业仍在发展,却由于封建制度和理学统治、八股取士、大兴文字狱,禁锢了人们的思想,扼杀了自由创造。明朝数学水平远低于宋元。数学家都看不懂增乘开方法、天元术、四元术等宋元重要成就,汉唐宋元数学著作不仅没有新的刻本,反而大都失传。从此,中国数学走向低潮,逐渐落后于世界先进水平,并且差距越来越大。但另一方面,珠算盘的应用却得到普及,并逐步取代算筹成为人们的主要计算工具,至今发挥着有益的作用。明朝出现了许多使用珠算的著作。程大位的《算法统宗》对普及珠算起了巨大作用,其影响远及朝鲜日本东南亚

中西数学融会贯通与艰难的复兴(明末至清末)

  明末,利玛窦传教士将西方数学传入中国,到1723年为第一阶段,主要传入几何、代数、三角等初等数学知识。利玛窦与徐光启合译了《几何原本》(前6卷),从此开始了中西数学的融会贯通,梅文鼎等作出了重要贡献。这一阶段集大成的结果是编纂了[[康熙帝]御定的《数理精蕴》53卷。1723年,雍正帝赶走传教士,从此人们一方面致力于消化传入的西方数学,并有所创造,明安图幂级数展开式方面作出了贡献;另一方面,一批失传已久的汉唐宋元算书被发现。戴震等校勘《九章算术》等汉唐著作,促进了乾嘉时期研究古算的高潮。汪莱李锐等在方程论,董祐诚项名达戴煦徐有壬李善兰等在幂级数展开式等方面的研究都有贡献;李善兰创造的尖锥术,已开始踏上了微积分的门槛。鸦片战争之后,列强轰开中国的大门,西方数学再一次传入中国。李善兰、华蘅芳等与传教士合译了若干微积分方面的西方数学著作,近代数学开始传入中国。清代从事数学研究的人比以往都多,也很执著,力图复兴中国数学。然而,囿于社会条件等因素,与西方数学的差距还是愈来愈大。20世纪初,中国传统数学中断,中国数学逐步融入统一的世界数学。

  中国数学不仅影响了朝鲜、日本、东南亚的数学发展,而且某些成就传入印度、阿拉伯地区,并进而传到欧洲,间接地为文艺复兴后欧洲数学的繁荣,变量数学的产生作出了贡献。中国传统数学长于计算,其算法具有程序化、机械化的特点,有的可以直接用于电子计算机,并对现今的数学教育、数学研究有启迪作用。