三角学

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  三角学汉语拼音:Sanjiaoxue;英语:Trigonometry),研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科。三角学起源于古希腊。为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要,古希腊人已研究球面三角形的边角关系,掌握了球面三角形两边之和大于第三边,球面三角形内角之和大于两个直角,等边对等角等定理。印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进,但主要是应用在天文学方面。15、16世纪三角学的研究转入平面三角,以达到测量上应用的目的。16世纪法国数学家F.韦达系统地研究了平面三角。他出版了应用于三角形的数学定律的书。此后,平面三角从天文学中分离出来,成了一个独立的分支。平面三角学的内容主要有三角函数、解三角形和三角方程。

  三角学中的三角函数有6个,是用几何方法定义的。在直角坐标系中,设以射线Ox为始边,OP为终边的角为θ,P点的坐标为(x,y),|OP|=r,这时6个比三角学1.jpg由θ的大小确定,都是θ的函数,称它们为角θ的三角函数,分别记作三角学2.jpg 并分别称为角θ的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。tg,ctg,csc也分别记作tan,cot,cosec。

  同角三角函数间有3组运算关系,即三角学3.jpg

  三角函数都是周期函数,以2π为周期。

  三角函数的基本恒等式有和角公式:sin(a+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,cos(a+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 由这两个公式可以导出差角公式、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差等公式。

  解三角形是已知三角形的某些元素(边和角)时求其余未知元素。设三角形的三个角为A,B,C,它们所对的边分别为a,b,c,则有

  正弦定理:三角学4.jpg

  余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA这两个定理是解三角形的主要依据。

  三角方程一般指含有某些三角函数的方程,并且三角函数的自变量中含有未知数。由于每个三角函数都是周期函数,所以任何一个三角方程只要有解,就有无穷多个解。