一般拓扑学

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  一般拓扑学汉语拼音:Yiban Tuopuxue;英语:Geoneral Topology),用点集的方法研究拓扑不变量的拓扑分支。它的前身是点集拓扑学。点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论,定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念,获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来,建立了广义分析,可看为拓扑空间理论建立的开始。泛函分析的兴起,希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立,更促进了把点集当作空间来研究。数学分析研究的中心问题是极限,而收敛与连续又是极限的基本问题。为把收敛与连续的研究推广到一般集合上,需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念。如何描述“邻近”,可以用“距离”,但“距离”与“邻近”并无必然的联系。1914年F.豪斯道夫开始考虑用“邻域”来定义拓扑。对一个非空的集合X,规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族,满足一组邻域公理(即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质)。该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域 。这就给出了X的一个拓扑结构。X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间。X的每点有邻域,故可研究一点的邻近,由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念。若一个映射连续,且存在逆映射,逆映射也连续,则称此映射为同胚映射。具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的(直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个)。要证明两个空间同胚,只要找到它们之间的同胚映射即可。在欧几里得直线上,作为子空间,两个任意的闭区间同胚;任意两开区间同胚;半开半闭的区间[c,d]与[a,b]同胚。二维球面挖去一个点s2-p与欧几里得平面K2同胚。要证明两个拓扑空间不同胚,需证明它们之间不存在同胚映射。方法是找同胚不变量或拓扑不变性(即在同胚映射下保持不变的性质);第一个空间具有某同胚不变量,另一个空间不具有,则此二空间不同胚。一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等(见拓扑空间)。在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间;弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系;L.S.乌雷松对紧空间进行了系统研究 ,且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献 ;1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念,能进一步刻画一致收敛,使收敛的更本质的属性揭示了出来;维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线(一种可填满整个正方形的“曲线”)时提出的,1912年H.庞加莱给出定义,乌雷松等人加以改进。